Εσωτερικές γωνίες πολυγώνου — τύπος και άθροισμα

Οι εσωτερικές γωνίες ενός απλού πολυγώνου με $n$ πλευρές έχουν άθροισμα

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Αν το πολύγωνο είναι κανονικό, τότε κάθε εσωτερική γωνία είναι

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

Αυτό απαντά στις δύο πιο συχνές αναζητήσεις των περισσότερων αναγνωστών: το συνολικό άθροισμα των εσωτερικών γωνιών για κάθε απλό πολύγωνο και το μέτρο μίας εσωτερικής γωνίας μόνο όταν το πολύγωνο είναι κανονικό.

Οι εσωτερικές γωνίες είναι οι γωνίες μέσα στο πολύγωνο

Εσωτερική γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται στο εσωτερικό ενός πολυγώνου εκεί όπου συναντώνται δύο πλευρές.

Στο τρίγωνο, οι τρεις εσωτερικές γωνίες έχουν άθροισμα $180^\circ$. Στο τετράπλευρο, έχουν άθροισμα $360^\circ$. Ο τύπος για τα πολύγωνα επεκτείνει αυτό το ίδιο μοτίβο.

Γιατί το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών πολυγώνου είναι $(n-2) \times 180^\circ$

Ένας απλός τρόπος να δεις τον τύπο είναι να χωρίσεις το πολύγωνο σε τρίγωνα, σχεδιάζοντας διαγωνίους από μία κορυφή.

Ένα πολύγωνο με $n$ πλευρές μπορεί να χωριστεί με αυτόν τον τρόπο σε $n-2$ τρίγωνα, και κάθε τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών $180^\circ$. Άρα το συνολικό άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Αυτό το επιχείρημα ισχύει για απλά πολύγωνα. Περιλαμβάνει τόσο τα κυρτά όσο και τα κοίλα πολύγωνα, αρκεί οι πλευρές να μην τέμνονται.

Λυμένο παράδειγμα: εσωτερικές γωνίες εξαγώνου

Να βρεθεί το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός εξαγώνου.

Ένα εξάγωνο έχει $n=6$ πλευρές, άρα

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Άρα οι εσωτερικές γωνίες κάθε απλού εξαγώνου έχουν άθροισμα $720^\circ$.

Αν το εξάγωνο είναι κανονικό, τότε και οι έξι γωνίες είναι ίσες, οπότε καθεμία είναι

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Αυτή είναι η βασική διάκριση:

• Κάθε απλό εξάγωνο έχει άθροισμα εσωτερικών γωνιών $720^\circ$.
• Μόνο ένα κανονικό εξάγωνο έχει κάθε εσωτερική γωνία ίση με $120^\circ$.

Συνηθισμένα λάθη με τις εσωτερικές γωνίες πολυγώνου

Διαίρεση με το $n$ σε μη κανονικό πολύγωνο

Ο τύπος

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

δίνει μία εσωτερική γωνία μόνο όταν το πολύγωνο είναι κανονικό. Ένα μη κανονικό πεντάγωνο εξακολουθεί να έχει συνολικό άθροισμα γωνιών $540^\circ$, αλλά οι επιμέρους γωνίες του δεν είναι απαραίτητα ίσες.

Χρήση του τύπου χωρίς να ελέγξεις αν το πολύγωνο είναι απλό

Ο τυπικός τύπος του αθροίσματος ισχύει για απλά πολύγωνα. Αν οι πλευρές τέμνονται, οι σχέσεις των γωνιών είναι διαφορετικές, οπότε δεν πρέπει να εφαρμόζεις τον τύπο αυτόματα.

Σύγχυση ανάμεσα σε εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες

Οι εσωτερικές γωνίες βρίσκονται μέσα στο πολύγωνο. Οι εξωτερικές γωνίες σχηματίζονται έξω από αυτό. Είναι σχετικές έννοιες, αλλά δεν είναι το ίδιο μέγεθος.

Πότε χρησιμοποιείται ο τύπος των εσωτερικών γωνιών

Οι τύποι για τις εσωτερικές γωνίες εμφανίζονται στη γεωμετρία, σε προβλήματα σχεδίασης και σχεδιασμού, και σε κάθε περίπτωση όπου χρειάζεται να μελετήσεις το σχήμα ενός πολυγώνου από τον αριθμό των πλευρών του.

Έχουν επίσης σημασία όταν περνάς από ένα γενικό πολύγωνο σε ένα κανονικό πολύγωνο, γιατί τότε ένα συνολικό άθροισμα γωνιών μετατρέπεται σε μία επαναλαμβανόμενη γωνία.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα με γωνίες πολυγώνου

Δοκίμασε ένα οκτάγωνο με $n=8$.

Πρώτα βρες το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών χρησιμοποιώντας το $(n-2) \times 180^\circ$. Έπειτα, μόνο αν υποθέσεις ότι το οκτάγωνο είναι κανονικό, διαίρεσε με $8$ για να βρεις μία εσωτερική γωνία. Αν θέλεις το επόμενο βήμα, εξέτασε άλλη μία περίπτωση πολυγώνου και έλεγξε αν χρησιμοποίησες τη συνθήκη του κανονικού πολυγώνου τη σωστή στιγμή.