Ângulos internos de um polígono — fórmula e soma

Os ângulos internos de um polígono simples de $n$ lados somam

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Se o polígono for regular, cada ângulo interno é

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

Isso responde às duas buscas mais comuns dos leitores: a soma total dos ângulos internos de qualquer polígono simples e o valor de um ângulo interno apenas quando o polígono é regular.

Ângulos internos são os ângulos dentro do polígono

Um ângulo interno é o ângulo formado dentro de um polígono no ponto em que dois lados se encontram.

Em um triângulo, os três ângulos internos somam $180^\circ$. Em um quadrilátero, eles somam $360^\circ$. A fórmula dos polígonos estende esse mesmo padrão.

Por que a soma dos ângulos internos de um polígono é $(n-2) \times 180^\circ$

Uma forma simples de entender a fórmula é dividir o polígono em triângulos traçando diagonais a partir de um vértice.

Um polígono de $n$ lados pode ser dividido em $n-2$ triângulos dessa forma, e cada triângulo tem soma dos ângulos igual a $180^\circ$. Portanto, a soma total dos ângulos internos é

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Esse argumento funciona para polígonos simples. Isso inclui tanto polígonos convexos quanto côncavos, desde que os lados não se cruzem.

Exemplo resolvido: ângulos internos de um hexágono

Encontre a soma dos ângulos internos de um hexágono.

Um hexágono tem $n=6$ lados, então

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Portanto, os ângulos internos de qualquer hexágono simples somam $720^\circ$.

Se o hexágono for regular, então os seis ângulos são iguais, logo cada um mede

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Esta é a distinção principal:

• Qualquer hexágono simples tem soma dos ângulos internos igual a $720^\circ$.
• Apenas um hexágono regular tem todos os ângulos internos iguais a $120^\circ$.

Erros comuns com ângulos internos de polígonos

Dividir por $n$ em um polígono não regular

A fórmula

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

fornece um ângulo interno apenas quando o polígono é regular. Um pentágono irregular ainda tem soma total dos ângulos igual a $540^\circ$, mas seus ângulos individuais não precisam ser iguais.

Usar a fórmula sem verificar se o polígono é simples

A fórmula padrão da soma vale para polígonos simples. Se os lados se cruzam, as relações entre os ângulos são diferentes, então você não deve aplicar a fórmula automaticamente.

Confundir ângulos internos com ângulos externos

Os ângulos internos ficam dentro do polígono. Os ângulos externos são formados fora dele. As ideias estão relacionadas, mas não representam a mesma grandeza.

Quando a fórmula dos ângulos internos é usada

As fórmulas de ângulos internos aparecem nas aulas de geometria, em problemas de desenho e design e em qualquer situação em que você precise analisar a forma de um polígono a partir do número de lados.

Elas também são importantes quando você passa de um polígono qualquer para um polígono regular, porque é nesse momento que uma soma total de ângulos se transforma em um único ângulo repetido.

Tente um problema parecido com ângulos de polígonos

Tente com um octógono, em que $n=8$.

Primeiro, encontre a soma dos ângulos internos usando $(n-2) \times 180^\circ$. Depois, somente se você assumir que o octógono é regular, divida por $8$ para encontrar um ângulo interno. Se quiser avançar mais, explore outro caso de polígono e verifique se você usou a condição de polígono regular no momento certo.