สมการคลื่น

สมการคลื่นบอกว่าคลื่นเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในอวกาศและเวลา ในแบบจำลองมาตรฐานหนึ่งมิติที่มีอัตราเร็วคลื่นคงที่ $v$ สมการคือ

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

ที่นี่ $u(x,t)$ คือปริมาณของคลื่น ขึ้นอยู่กับโจทย์ มันอาจหมายถึงการกระจัดของเส้นเชือก การเปลี่ยนแปลงความดันเล็กน้อยของเสียง หรือแอมพลิจูดของคลื่นชนิดอื่น

สมการคลื่นหมายความว่าอย่างไร

ด้านซ้ายวัดว่าค่าของคลื่นมีความเร่งตามเวลาอย่างไรที่ตำแหน่งหนึ่ง ด้านขวาวัดว่ารูปร่างของคลื่นมีความโค้งในอวกาศมากแค่ไหน

ความเชื่อมโยงนี้คือแนวคิดหลัก ถ้าส่วนหนึ่งของคลื่นมีความโค้ง ความโค้งนั้นจะเป็นตัวกำหนดว่าการรบกวนเปลี่ยนแปลงต่อไปอย่างไร ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมรูปร่างของคลื่นจึงเคลื่อนที่ได้

เมื่อใดที่สมการคลื่น 1 มิติใช้ได้

สมการข้างต้นไม่ใช่สูตรสากลสำหรับคลื่นทุกชนิด มันเป็นรูปแบบหนึ่งมิติที่มีอัตราเร็วคงที่ซึ่งใช้กันบ่อย ดังนั้นเงื่อนไขของปัญหาจึงสำคัญ

มันใช้ได้ดีกับคลื่นตามขวางขนาดเล็กบนเส้นเชือกที่ถูกดึงตึงในอุดมคติ และกับแบบจำลองเสียงอย่างง่ายในตัวกลางสม่ำเสมอ ถ้าตัวกลางเปลี่ยนไปตามตำแหน่ง เรขาคณิตซับซ้อนขึ้น หรือการเคลื่อนที่ไม่สามารถประมาณเป็นหนึ่งมิติได้ดี สมการก็มักจะเปลี่ยนไปด้วย

ตัวอย่างคำนวณ: ตรวจสอบคลื่นไซน์ที่เคลื่อนที่

กำหนดให้

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

นี่อธิบายคลื่นไซน์ที่เคลื่อนไปทางขวา โดยมีแอมพลิจูด $A$ เลขคลื่น $k$ และความถี่เชิงมุม $\omega$

หาอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับเวลา:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

หาอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับตำแหน่ง:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

ตอนนี้แทนผลลัพธ์ทั้งสองลงในสมการคลื่น:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

จะได้ว่า

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

ดังนั้นคลื่นไซน์นี้จะเป็นคำตอบได้ก็ต่อเมื่อ

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

สำหรับอัตราเร็วคลื่นที่เป็นบวก จะได้เป็น

$$v = \frac{\omega}{k}$$

นี่คือจุดตรวจสอบสำคัญที่ควรจำ: คลื่นไซน์ที่เคลื่อนที่เป็นคำตอบของสมการคลื่นได้จริง แต่ก็ต่อเมื่อ $\omega$, $k$ และ $v$ สอดคล้องกันอย่างถูกต้อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสมการคลื่น

• คิดว่ารูปแบบอย่างง่ายนี้ใช้ได้กับทุกกรณี ทั้งที่มันสมมติว่าอัตราเร็วคลื่นคงที่ในแบบจำลอง $1$ มิติที่เหมาะสม
• ลืมว่า $u$ ขึ้นกับทั้งตำแหน่งและเวลา นั่นจึงเป็นเหตุผลที่มีอนุพันธ์ย่อย
• สับสนระหว่างการเคลื่อนที่ของคลื่นกับการเคลื่อนที่ของสสาร บนเส้นเชือก รูปแบบของคลื่นเคลื่อนไปตามเส้นเชือก ขณะที่แต่ละจุดส่วนใหญ่เคลื่อนที่ขึ้นลง
• คิดว่าคลื่นไซน์ใด ๆ ก็ใช้ได้โดยอัตโนมัติ ในแบบจำลองนี้ พารามิเตอร์ต้องเป็นไปตาม $v = \omega/k$

สมการคลื่นถูกใช้ที่ไหน

สมการคลื่นปรากฏขึ้นทุกครั้งที่การรบกวนขนาดเล็กเคลื่อนที่ผ่านตัวกลางหรือสนามในลักษณะเป็นคลื่น ฟิสิกส์ระดับต้นใช้มันกับเส้นเชือกสั่นและเสียง และรูปแบบที่เกี่ยวข้องก็ปรากฏในแม่เหล็กไฟฟ้าและส่วนอื่น ๆ ของฟิสิกส์ด้วย

ลองตรวจสอบแบบคล้ายกัน

กำหนดให้

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

หาอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ $x$ และอันดับสองเทียบกับ $t$ จากนั้นตรวจสอบว่ามันเป็นไปตามสมการคลื่นเมื่อ $v = 3$ หรือไม่ ถ้าคุณอยากลองแบบของตัวเองต่อ ให้เปลี่ยน $6$ เป็นค่าอื่น แล้วดูว่าอัตราเร็วคลื่นค่าใดทำให้สมการเป็นจริง