波动方程

波动方程描述波在空间和时间中如何变化。在标准的一维、波速为常数 $v$ 的模型中，它写作

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

这里，$u(x,t)$ 表示波动量。根据具体问题，它可以表示弦的位移、声波中的微小压强变化，或其他波的振幅。

波动方程的含义

左边表示某一点处波的数值随时间变化的加速度。右边表示波形在空间中的弯曲程度。

这两者之间的联系就是核心思想。波的某一部分如果有曲率，这种曲率就会决定扰动如何演化，这也是波形能够传播的原因。

一维波动方程在什么时候适用

上面的方程并不是适用于所有波的通用公式。它是常见的一维、恒定波速形式，因此适用条件很重要。

它适用于理想化拉紧弦上的小横波，也适用于均匀介质中的简单声波模型。如果介质随位置变化、几何结构更复杂，或者运动不能很好地近似为一维，那么方程通常也会改变。

例题：检验一个行进的正弦波

取

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

它表示一个向右传播的正弦波，振幅为 $A$，波数为 $k$，角频率为 $\omega$。

对时间求两次偏导：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

对位置求两次偏导：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

现在把这两个结果代入波动方程：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

得到

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

所以，这个正弦波只有在满足下式时才是方程的解：

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

当波速取正时，这可写成

$$v = \frac{\omega}{k}$$

这是一个很有用的检验结论：行进的正弦波确实可以满足波动方程，但前提是 $\omega$、$k$ 和 $v$ 之间满足正确关系。

波动方程的常见错误

• 把这个简单形式当成通用公式。它假设在合适的一维模型中波速为常数。
• 忘记 $u$ 同时依赖位置和时间。这就是为什么会出现偏导数。
• 混淆波形的传播和介质本身的运动。对于弦波，波形沿弦传播，而弦上的每个点主要是上下振动。
• 以为任意正弦波都自动成立。在这个模型中，参数必须满足 $v = \omega/k$。

波动方程用在哪里

只要小扰动以波的方式在介质或场中传播，就会出现波动方程。入门物理中常用它描述振动的弦和声波，而在电磁学及物理学的其他部分中，也会出现相关形式。

试着做一个类似检验

取

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

分别对 $x$ 求两次偏导、对 $t$ 求两次偏导，然后检验它是否满足 $v = 3$ 时的波动方程。如果你想继续自己尝试，可以把 $6$ 改成别的数，看看在什么波速下方程能够成立。