Równanie falowe

Równanie falowe opisuje, jak fala zmienia się w przestrzeni i czasie. W standardowym modelu jednowymiarowym ze stałą prędkością fali $v$ ma ono postać

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Tutaj $u(x,t)$ jest wielkością falową. W zależności od problemu może oznaczać wychylenie struny, małą zmianę ciśnienia w dźwięku albo inną amplitudę fali.

Co oznacza równanie falowe

Lewa strona mierzy, jak wartość fali przyspiesza w czasie w jednym punkcie. Prawa strona mierzy, jak bardzo kształt fali jest zakrzywiony w przestrzeni.

To powiązanie jest najważniejszą ideą. Jeśli fragment fali jest zakrzywiony, to właśnie ta krzywizna decyduje o tym, jak zaburzenie ewoluuje, dlatego kształt może się przemieszczać.

Kiedy stosuje się jednowymiarowe równanie falowe

Powyższe równanie nie jest uniwersalnym wzorem dla każdej fali. To typowa postać $1$D dla stałej prędkości, więc warunki mają znaczenie.

Dobrze działa dla małych fal poprzecznych na wyidealizowanej napiętej strunie oraz dla prostych modeli dźwięku w jednorodnym ośrodku. Jeśli ośrodek zmienia się z położeniem, geometria jest bardziej złożona albo ruchu nie da się dobrze przybliżyć jako jednowymiarowego, to równanie zwykle też się zmienia.

Przykład: sprawdzenie biegnącej fali sinusoidalnej

Weźmy

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

To opisuje sinusoidalną falę biegnącą w prawo o amplitudzie $A$, liczbie falowej $k$ i częstości kątowej $\omega$.

Policzmy drugą pochodną względem czasu:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Policzmy drugą pochodną względem położenia:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Teraz podstawmy oba wyniki do równania falowego:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Otrzymujemy

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Zatem fala sinusoidalna jest rozwiązaniem tylko wtedy, gdy

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Dla dodatniej prędkości fali daje to

$$v = \frac{\omega}{k}$$

To przydatne sprawdzenie, które warto zapamiętać: biegnąca fala sinusoidalna rzeczywiście spełnia równanie falowe, ale tylko wtedy, gdy $\omega$, $k$ i $v$ są ze sobą poprawnie powiązane.

Typowe błędy przy równaniu falowym

• Traktowanie prostej postaci jako uniwersalnej. Zakłada ona stałą prędkość fali w odpowiednim modelu $1$D.
• Zapominanie, że $u$ zależy zarówno od położenia, jak i od czasu. Dlatego pojawiają się pochodne cząstkowe.
• Mylenie ruchu fali z ruchem materii. Na strunie wzór fali przemieszcza się wzdłuż struny, podczas gdy każdy punkt porusza się głównie w górę i w dół.
• Zakładanie, że każda fala sinusoidalna działa automatycznie. W tym modelu parametry muszą spełniać warunek $v = \omega/k$.

Gdzie stosuje się równanie falowe

Równanie falowe pojawia się wszędzie tam, gdzie małe zaburzenie rozchodzi się w ośrodku lub polu w sposób falowy. W fizyce na poziomie wstępnym używa się go do drgających strun i dźwięku, a pokrewne postacie pojawiają się w elektromagnetyzmie i innych działach fizyki.

Spróbuj podobnego sprawdzenia

Weź

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Policz drugą pochodną względem $x$ i drugą pochodną względem $t$, a potem sprawdź, czy funkcja spełnia równanie falowe dla $v = 3$. Jeśli potem chcesz spróbować własnej wersji, zmień $6$ na inną wartość i zobacz, przy jakiej prędkości fali równanie będzie spełnione.