Equação da Onda

A equação da onda diz como uma onda muda no espaço e no tempo. No modelo unidimensional padrão com velocidade de propagação constante $v$, ela é

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Aqui, $u(x,t)$ é a grandeza ondulatória. Dependendo do problema, ela pode representar o deslocamento de uma corda, uma pequena variação de pressão no som ou outra amplitude de onda.

O Que a Equação da Onda Significa

O lado esquerdo mede como o valor da onda acelera no tempo em um ponto. O lado direito mede o quanto a forma da onda é curva no espaço.

Essa ligação é a ideia principal. Se uma parte da onda é curva, essa curvatura determina como a perturbação evolui, e é por isso que a forma pode se propagar.

Quando a Equação da Onda 1D se Aplica

A equação acima não é uma fórmula universal para toda onda. Ela é a forma comum em $1$D com velocidade constante, então as condições importam.

Ela funciona bem para pequenas ondas transversais em uma corda esticada idealizada e para modelos simples de som em um meio uniforme. Se o meio muda com a posição, a geometria é mais complicada ou o movimento não pode ser bem aproximado como unidimensional, a equação geralmente também muda.

Exemplo Resolvido: Verificando uma Onda Senoidal Viajante

Considere

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Isso descreve uma onda senoidal que se move para a direita, com amplitude $A$, número de onda $k$ e frequência angular $\omega$.

Derive duas vezes em relação ao tempo:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Derive duas vezes em relação à posição:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Agora substitua os dois resultados na equação da onda:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Isso dá

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Então a onda senoidal é uma solução apenas se

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Para uma velocidade de onda positiva, isso fica

$$v = \frac{\omega}{k}$$

Esta é a verificação útil para lembrar: uma onda senoidal viajante satisfaz a equação da onda, mas apenas quando $\omega$, $k$ e $v$ correspondem corretamente.

Erros Comuns na Equação da Onda

• Tratar a forma simples como universal. Ela supõe uma velocidade de onda constante em um modelo $1$D adequado.
• Esquecer que $u$ depende tanto da posição quanto do tempo. É por isso que aparecem derivadas parciais.
• Confundir o movimento da onda com o movimento do material. Em uma corda, o padrão se propaga ao longo da corda enquanto cada ponto se move principalmente para cima e para baixo.
• Supor que qualquer senoide funciona automaticamente. Neste modelo, os parâmetros devem satisfazer $v = \omega/k$.

Onde a Equação da Onda é Usada

A equação da onda aparece sempre que uma pequena perturbação se propaga por um meio ou campo de maneira ondulatória. Na física introdutória, ela é usada para cordas vibrantes e som, e formas relacionadas aparecem no eletromagnetismo e em outras áreas da física.

Tente uma Verificação Parecida

Considere

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Derive duas vezes em relação a $x$ e duas vezes em relação a $t$, depois teste se ela satisfaz a equação da onda com $v = 3$. Se quiser tentar sua própria versão depois disso, troque o $6$ por outro valor e veja qual velocidade de onda faz a equação funcionar.