Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang menjelaskan bagaimana suatu gelombang berubah terhadap ruang dan waktu. Dalam model satu dimensi standar dengan kecepatan gelombang konstan $v$, bentuknya adalah

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Di sini, $u(x,t)$ adalah besaran gelombang. Bergantung pada masalahnya, ini bisa berarti simpangan pada tali, perubahan tekanan kecil pada bunyi, atau amplitudo gelombang lainnya.

Apa Arti Persamaan Gelombang

Sisi kiri mengukur bagaimana nilai gelombang mengalami percepatan terhadap waktu di satu titik. Sisi kanan mengukur seberapa melengkung bentuk gelombang dalam ruang.

Hubungan itu adalah gagasan utamanya. Jika suatu bagian gelombang melengkung, kelengkungan itu menentukan bagaimana gangguan berkembang, sehingga bentuk gelombang dapat merambat.

Kapan Persamaan Gelombang 1D Berlaku

Persamaan di atas bukan rumus universal untuk semua gelombang. Itu adalah bentuk 1D umum dengan kecepatan konstan, jadi syarat-syaratnya penting.

Persamaan ini bekerja dengan baik untuk gelombang transversal kecil pada tali tegang yang diidealkan dan untuk model bunyi sederhana dalam medium seragam. Jika medium berubah terhadap posisi, geometri lebih rumit, atau geraknya tidak dapat didekati dengan baik sebagai satu dimensi, maka persamaannya biasanya juga berubah.

Contoh Dikerjakan: Periksa Gelombang Sinus Berjalan

Ambil

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Ini menggambarkan gelombang sinus yang merambat ke kanan dengan amplitudo $A$, bilangan gelombang $k$, dan frekuensi sudut $\omega$.

Turunkan dua kali terhadap waktu:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Turunkan dua kali terhadap posisi:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Sekarang masukkan kedua hasil itu ke dalam persamaan gelombang:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Hasilnya adalah

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Jadi gelombang sinus ini merupakan solusi hanya jika

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Untuk kecepatan gelombang positif, ini menjadi

$$v = \frac{\omega}{k}$$

Inilah pemeriksaan penting yang perlu diingat: gelombang sinus berjalan memang memenuhi persamaan gelombang, tetapi hanya ketika $\omega$, $k$, dan $v$ cocok dengan benar.

Kesalahan Umum pada Persamaan Gelombang

• Menganggap bentuk sederhana ini berlaku universal. Bentuk ini mengasumsikan kecepatan gelombang konstan dalam model $1$D yang sesuai.
• Lupa bahwa $u$ bergantung pada posisi dan waktu. Itulah sebabnya turunan parsial muncul.
• Mencampuradukkan gerak gelombang dengan gerak material. Pada tali, polanya merambat sepanjang tali sementara tiap titik terutama bergerak naik turun.
• Menganggap sembarang gelombang sinus otomatis berlaku. Dalam model ini, parameternya harus memenuhi $v = \omega/k$.

Di Mana Persamaan Gelombang Digunakan

Persamaan gelombang muncul ketika gangguan kecil merambat melalui medium atau medan dengan cara seperti gelombang. Dalam fisika dasar, persamaan ini digunakan untuk tali bergetar dan bunyi, dan bentuk-bentuk terkait juga muncul dalam elektromagnetisme serta bagian fisika lainnya.

Coba Pemeriksaan Serupa

Ambil

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Turunkan dua kali terhadap $x$ dan dua kali terhadap $t$, lalu uji apakah fungsi ini memenuhi persamaan gelombang dengan $v = 3$. Jika ingin mencoba versi Anda sendiri setelah itu, ubah angka $6$ menjadi nilai lain dan lihat kecepatan gelombang mana yang membuat persamaannya berlaku.