การสั่น — SHM การสั่นแบบมีแดมป์ และการสั่นแบบถูกบังคับ

การสั่นในฟิสิกส์คือการเคลื่อนที่ซ้ำ ๆ หรือการเปลี่ยนแปลงซ้ำ ๆ รอบตำแหน่งสมดุล หากต้องการเข้าใจเรื่องนี้อย่างรวดเร็ว ให้แยกเป็น 3 กรณี คือ การเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่ายแบบอุดมคติ การสั่นที่สูญเสียพลังงาน และการสั่นที่ถูกขับด้วยแรงเป็นคาบจากภายนอก

มวลที่ติดกับสปริง ลูกตุ้มมุมแกว่งน้อย และวงจร AC ล้วนสามารถสั่นได้ วิธีแยกอย่างรวดเร็วคือดังนี้:

• SHM คือกรณีอุดมคติที่ผลคืนสภาพแปรผันตรงกับการกระจัด
• การสั่นแบบมีแดมป์หมายถึงมีการสูญเสียพลังงาน ดังนั้นแอมพลิจูดจึงลดลงตามเวลา
• การสั่นแบบถูกบังคับหมายถึงมีอินพุตเป็นคาบจากภายนอกคอยขับระบบอยู่

ถ้าความถี่ของแรงขับใกล้กับความถี่ธรรมชาติของระบบ การตอบสนองอาจมีขนาดใหญ่ขึ้นมาก ปรากฏการณ์พื้นฐานนี้เรียกว่าเรโซแนนซ์

อะไรทำให้ระบบเกิดการสั่น?

ระบบที่สั่นได้มีองค์ประกอบ 2 อย่าง คือ ตำแหน่งสมดุล และผลคืนสภาพที่ผลักหรือดึงระบบกลับหลังจากมันถูกเบี่ยงออกจากสมดุล เมื่อระบบเคลื่อนที่กลับผ่านตำแหน่งสมดุล ความเฉื่อยมักพามันเลยจุดกึ่งกลางไป ทำให้การเคลื่อนที่เกิดซ้ำ

อย่างไรก็ตาม การเคลื่อนที่ซ้ำไม่ได้แปลว่าเป็น SHM โดยอัตโนมัติ SHM เป็นแบบจำลองอุดมคติที่เฉพาะเจาะจงกว่า และต้องมีเงื่อนไขดังนี้:

$$F = -kx$$

สำหรับสปริง หรือในภาพรวมคือผลคืนสภาพต้องแปรผันตรงกับการกระจัด เครื่องหมายลบมีความสำคัญ เพราะแสดงว่าแรงมีทิศกลับเข้าหาตำแหน่งสมดุล

การเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่าย: กรณีอุดมคติ

ในการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่ายแบบอุดมคติ ความเร่งจะแปรผันตรงกับการกระจัดและมีทิศตรงข้ามกัน:

$$a = -\omega^2 x$$

เงื่อนไขนี้นำไปสู่การเคลื่อนที่แบบไซน์ สำหรับมวล $m$ ที่ติดกับสปริงซึ่งมีค่าคงที่สปริง $k$

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

และ

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

โดยที่ $T$ คือคาบ

แนวคิดที่ใช้เข้าใจได้ง่ายคือ สปริงที่แข็งกว่าจะดึงกลับแรงกว่า ดังนั้นการสั่นจึงเร็วขึ้น มวลที่มากกว่าจะต้านการเร่งได้มากกว่า ดังนั้นการสั่นจึงช้าลง

การสั่นแบบมีแดมป์: ทำไมแอมพลิจูดจึงลดลง

ระบบจริงมักสูญเสียพลังงาน ความต้านอากาศ แรงเสียดทาน การเสียรูปภายใน และความต้านทานไฟฟ้า ล้วนทำหน้าที่เป็นแดมป์

เมื่อแดมป์มีผล การเคลื่อนที่ยังคงสั่นอยู่ได้ช่วงหนึ่ง แต่แอมพลิจูดจะเล็กลงตามเวลา ระบบไม่ได้รับพลังงานเพิ่มเพียงพอที่จะรักษาขนาดการเคลื่อนที่เดิมไว้

ถ้าแดมป์น้อย การเคลื่อนที่ยังดูเป็นคาบได้โดยประมาณ ถ้าแดมป์มาก ระบบอาจกลับสู่สมดุลโดยไม่เกิดการสั่นซ้ำครบหลายรอบ

การสั่นแบบถูกบังคับและเรโซแนนซ์

การสั่นแบบถูกบังคับเกิดขึ้นเมื่อมีอิทธิพลเป็นคาบจากภายนอกคอยผลักหรือดึงระบบอยู่ตลอด เด็กที่โยกชิงช้า กรวยลำโพงที่ถูกขับด้วยสัญญาณสลับ หรืออาคารที่ถูกเขย่าด้วยการเคลื่อนที่ของพื้นดินซ้ำ ๆ ล้วนเป็นตัวอย่าง

ประเด็นสำคัญคือความถี่ของแรงขับมีผลมาก ถ้ามันห่างจากความถี่ธรรมชาติ การตอบสนองอาจไม่มากนัก แต่ถ้ามันอยู่ใกล้กัน แอมพลิจูดอาจเพิ่มขึ้นอย่างมาก

ช่วงที่การตอบสนองมีขนาดใหญ่เช่นนี้เรียกว่าเรโซแนนซ์ เพื่อให้แม่นยำ การตอบสนองที่แรงที่สุดมักเกิดใกล้ความถี่ธรรมชาติในกรณีที่แดมป์น้อย และตำแหน่งยอดสูงสุดที่แน่นอนขึ้นอยู่กับแดมป์และปริมาณที่คุณกำลังวัด

ตัวอย่างคำนวณ: สปริงหนึ่งเส้นกับสามแนวคิด

สมมติว่ามวล $0.50\ \mathrm{kg}$ ติดอยู่กับสปริงอุดมคติที่มี $k = 200\ \mathrm{N/m}$

เริ่มจากหาความถี่เชิงมุม:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

จากนั้นหาคาบ:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

ดังนั้นในแบบจำลอง SHM แบบอุดมคติ ระบบจะสั่นครบหนึ่งรอบในเวลาประมาณ $0.314$ วินาที และมีความถี่ธรรมชาติเป็น

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} \approx 3.18\ \mathrm{Hz}$$

ซึ่งหมายถึงสั่นประมาณ $3.18$ รอบในแต่ละวินาที

ตอนนี้ใช้ระบบเดิมเพื่อมองภาพรวมให้ชัดขึ้น:

• ถ้าละเลยแรงเสียดทานและปล่อยให้เคลื่อนที่เอง การเคลื่อนที่จะเป็น SHM แบบอุดมคติ
• ถ้ามีความต้านอากาศหรือแรงเสียดทานภายใน แอมพลิจูดจะค่อย ๆ ลดลง ดังนั้นการเคลื่อนที่จะเป็นแบบมีแดมป์
• ถ้าคุณคอยผลักมันเป็นคาบด้วยมอเตอร์หรือแรงภายนอก การเคลื่อนที่จะเป็นแบบถูกบังคับ

ถ้าแรงขับนั้นเกิดซ้ำด้วยอัตราใกล้กับประมาณ $3.18\ \mathrm{Hz}$ และแดมป์มีค่าน้อย การตอบสนองอาจเพิ่มขึ้นมากกว่ากรณีที่อยู่ห่างจากเรโซแนนซ์อย่างชัดเจน

ตัวอย่างเดียวนี้เพียงพอสำหรับจัดระเบียบเนื้อหา: SHM อธิบายจังหวะเวลาแบบอุดมคติ แดมป์อธิบายว่าทำไมการเคลื่อนที่จริงจึงค่อย ๆ จางลง และแรงขับอธิบายว่าอินพุตจากภายนอกทำให้การสั่นคงอยู่หรือรุนแรงขึ้นได้อย่างไร

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อยเกี่ยวกับการสั่น

เรียกการสั่นทุกแบบว่า SHM

การเคลื่อนที่ไป-กลับเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ SHM ต้องมีผลคืนสภาพที่แปรผันตรงกับการกระจัด

คิดว่าแดมป์เปลี่ยนแค่แอมพลิจูด

สำหรับแดมป์น้อย สิ่งที่เห็นชัดที่สุดมักเป็นแอมพลิจูดที่ลดลง แต่แดมป์ยังเปลี่ยนรายละเอียดของการเคลื่อนที่ด้วย ไม่ใช่แค่ผลที่มองเห็นภายนอกเท่านั้น

คิดว่าการสั่นแบบถูกบังคับจะโตขึ้นได้ไม่จำกัดเสมอ

ระบบจริงมักมีแดมป์ และแดมป์นี่เองที่จำกัดการตอบสนองในสภาวะคงตัว หากมองข้ามจุดนี้ จะเข้าใจเรโซแนนซ์ผิดได้ง่าย

บอกว่าเรโซแนนซ์ต้องเกิดตรงกับความถี่ธรรมชาติเสมอในทุกกรณี

คำกล่าวนี้กว้างเกินไป ในฟิสิกส์ระดับต้น การพูดว่า “ใกล้ความถี่ธรรมชาติ” จะปลอดภัยกว่า เว้นแต่จะระบุแบบจำลองและปริมาณที่วัดอย่างชัดเจน

การสั่นปรากฏในฟิสิกส์ที่ไหนบ้าง

แบบจำลองการสั่นพบได้ในระบบกล เสียงและการสั่นสะเทือน วงจรไฟฟ้า การเคลื่อนที่ของโมเลกุล นาฬิกา เซนเซอร์ และวิศวกรรมโครงสร้าง สิ่งเหล่านี้สำคัญเพราะระบบจริงจำนวนมากมีการเคลื่อนที่ซ้ำ กักเก็บพลังงาน สูญเสียพลังงาน และตอบสนองอย่างมากต่อแรงขับที่เกิดซ้ำ

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมแนวคิดเดียวกันจึงปรากฏในบริบทที่ต่างกันมาก เช่น ระบบกันสะเทือนของรถยนต์ นาฬิกาลูกตุ้ม สายกีตาร์ และวงจร RLC ต่างก็ใช้ภาษาพื้นฐานเดียวกันของความถี่ธรรมชาติ แดมป์ และแรงขับ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้สปริงเส้นเดิม แต่เพิ่มมวลเป็น $1.0\ \mathrm{kg}$ แล้วคำนวณ $T$ และความถี่ธรรมชาติใหม่ จากนั้นเปรียบเทียบกับค่าเดิม หลังจากนั้นลองถามต่อว่าถ้ามีแรงขับเป็นคาบมากระทำใกล้ความถี่ธรรมชาติใหม่จะเกิดอะไรขึ้น หากต้องการไปต่อ ลองแก้โจทย์แบบเดียวกันสำหรับลูกตุ้มหรือวงจร RLC