Équation d’onde

L’équation d’onde décrit comment une onde évolue dans l’espace et dans le temps. Dans le modèle unidimensionnel standard avec une vitesse d’onde constante $v$, elle s’écrit

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Ici, $u(x,t)$ est la grandeur ondulatoire. Selon le problème, cela peut représenter le déplacement d’une corde, une petite variation de pression dans le son, ou une autre amplitude d’onde.

Ce que signifie l’équation d’onde

Le membre de gauche mesure comment la valeur de l’onde accélère dans le temps en un point donné. Le membre de droite mesure à quel point la forme de l’onde est courbée dans l’espace.

C’est l’idée essentielle. Si une partie de l’onde est courbée, cette courbure détermine l’évolution de la perturbation, ce qui explique pourquoi la forme peut se propager.

Quand l’équation d’onde 1D s’applique

L’équation ci-dessus n’est pas une formule universelle pour toutes les ondes. C’est la forme 1D usuelle à vitesse constante, donc les conditions comptent.

Elle fonctionne bien pour de petites ondes transversales sur une corde tendue idéalisée et pour des modèles simples du son dans un milieu uniforme. Si le milieu varie selon la position, si la géométrie est plus compliquée, ou si le mouvement n’est pas bien approché comme unidimensionnel, l’équation change généralement aussi.

Exemple résolu : vérifier une onde sinusoïdale progressive

Prenons

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Cela décrit une onde sinusoïdale se propageant vers la droite, d’amplitude $A$, de nombre d’onde $k$ et de pulsation $\omega$.

Dérivons deux fois par rapport au temps :

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Dérivons deux fois par rapport à la position :

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Plaçons maintenant les deux résultats dans l’équation d’onde :

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

On obtient

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Donc l’onde sinusoïdale est une solution seulement si

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Pour une vitesse d’onde positive, cela devient

$$v = \frac{\omega}{k}$$

C’est la vérification utile à retenir : une onde sinusoïdale progressive satisfait bien l’équation d’onde, mais seulement lorsque $\omega$, $k$ et $v$ correspondent correctement.

Erreurs fréquentes sur l’équation d’onde

• Traiter la forme simple comme si elle était universelle. Elle suppose une vitesse d’onde constante dans un modèle 1D adapté.
• Oublier que $u$ dépend à la fois de la position et du temps. C’est pour cela que des dérivées partielles apparaissent.
• Confondre le mouvement de l’onde avec le mouvement de la matière. Sur une corde, la forme se propage le long de la corde tandis que chaque point se déplace surtout de haut en bas.
• Supposer que n’importe quelle onde sinusoïdale convient automatiquement. Dans ce modèle, les paramètres doivent vérifier $v = \omega/k$.

Où l’équation d’onde est utilisée

L’équation d’onde apparaît chaque fois qu’une petite perturbation se propage dans un milieu ou un champ de manière ondulatoire. En physique introductive, on l’utilise pour les cordes vibrantes et le son, et des formes apparentées apparaissent en électromagnétisme et dans d’autres domaines de la physique.

Essayez une vérification similaire

Prenez

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Dérivez deux fois par rapport à $x$ et deux fois par rapport à $t$, puis vérifiez si cette fonction satisfait l’équation d’onde avec $v = 3$. Si vous voulez essayer votre propre version ensuite, remplacez le $6$ par une autre valeur et voyez quelle vitesse d’onde permet à l’équation de fonctionner.