สมการชโรดิงเงอร์

สมการชโรดิงเงอร์บอกว่าสถานะควอนตัมเปลี่ยนแปลงอย่างไรในกลศาสตร์ควอนตัมแบบไม่สัมพัทธภาพ ถ้าคุณรู้ฟังก์ชันคลื่น $\psi$ และพลังงานศักย์ $V$ สมการนี้จะบอกว่า $\psi$ วิวัฒน์ไปอย่างไร และสถานะพลังงานใดบ้างที่เป็นไปได้

สำหรับอนุภาคหนึ่งตัวในสามมิติ สมการแบบขึ้นกับเวลามักเขียนได้เป็น

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right)\psi$$

ที่นี่ $m$ คือมวลของอนุภาค, $V$ คือพลังงานศักย์ และ $\hbar$ คือค่าคงที่พลังค์แบบลดรูป นี่คือจุดเริ่มต้นมาตรฐานเมื่อแบบจำลองไม่สัมพัทธภาพเหมาะสม กล่าวคือผลของสัมพัทธภาพมีขนาดเล็กพอที่จะละเลยได้

สมการชโรดิงเงอร์หมายความว่าอย่างไร

สมการนี้เชื่อมสองแนวคิดเข้าด้วยกัน: ฟังก์ชันคลื่นเปลี่ยนไปตามเวลาอย่างไร และพลังงานของระบบกระทำต่อฟังก์ชันคลื่นนั้นอย่างไร พจน์ $\nabla^2$ เชื่อมโยงกับพลังงานจลน์ ส่วน $V$ แทนพลังงานศักย์

คุณไม่ควรตีความ $\psi$ ว่าเป็นคลื่นแบบคลาสสิกเหมือนความสูงของผิวน้ำ ในการตีความมาตรฐาน ปริมาณที่วัดได้คือ $|\psi|^2$ ซึ่งให้ความหนาแน่นความน่าจะเป็นหลังจากทำให้อยู่ในรูปนอร์มัลไลซ์แล้ว

นี่คือความแตกต่างสำคัญจากกลศาสตร์คลาสสิก โดยทั่วไปสมการนี้ไม่ได้ทำนายเส้นทางที่แน่นอนเพียงเส้นเดียวของอนุภาค แต่มันทำนายว่าโครงสร้างความน่าจะเป็นของระบบเปลี่ยนไปอย่างไร

เมื่อใดที่ใช้รูปไม่ขึ้นกับเวลา

สมการชโรดิงเงอร์แบบขึ้นกับเวลาคือรูปทั่วไป ส่วนอีกรูปหนึ่งจะปรากฏได้ก็ต่อเมื่อพลังงานศักย์ไม่ขึ้นกับเวลา และคุณกำลังมองหาสถานะคงตัวที่มีพลังงานแน่นอน

ในหนึ่งมิติ รูปไม่ขึ้นกับเวลานั้นคือ

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

นี่ไม่ใช่กฎอีกข้อหนึ่ง แต่เป็นกรณีพิเศษของสมการแบบขึ้นกับเวลาภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ถ้าพลังงานศักย์เปลี่ยนไปตามเวลา คุณไม่ควรคาดหวังว่ารูปที่ง่ายกว่านี้จะอธิบายสถานการณ์ทั้งหมดได้

ตัวอย่างคำนวณ: อนุภาคในกล่องหนึ่งมิติ

ตัวอย่างมาตรฐานคืออนุภาคที่ถูกกักอยู่ระหว่าง $x=0$ และ $x=L$ โดยมีพลังงานศักย์

$$V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & \text{outside the box} \end{cases}$$

ภายในกล่อง พลังงานศักย์เป็นศูนย์ ดังนั้นสมการไม่ขึ้นกับเวลาจึงกลายเป็น

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} = E\psi$$

ที่ผนังกล่อง ฟังก์ชันคลื่นต้องเป็นศูนย์:

$$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0$$

เงื่อนไขขอบเหล่านี้ตัดคำตอบทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ออกไป และเหลือเพียงสถานะคงตัวบางค่าเท่านั้น:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad n = 1,2,3,\dots$$

และพลังงานที่เป็นไปได้คือ

$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$$

นี่คือแนวคิดหลักที่ควรจำไว้ สมการเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ เงื่อนไขขอบก็สำคัญเช่นกัน เมื่อรวมกันแล้ว มันยอมให้มีได้เพียงชุดพลังงานแบบไม่ต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นทุกค่าที่เป็นไปได้

ถ้ากล่องมีขนาดใหญ่ขึ้น พลังงานที่เป็นไปได้จะเล็กลง เพราะ $E_n \propto 1/L^2$ ถ้ากล่องเล็กลง ระดับพลังงานจะยิ่งห่างกันมากขึ้น

ทำไมตัวอย่างนี้จึงช่วยให้เข้าใจกลศาสตร์ควอนตัม

แบบจำลองอนุภาคในกล่องนั้นเรียบง่าย แต่มันทำให้แนวคิดควอนตัมข้อหนึ่งชัดเจนได้อย่างรวดเร็ว: การถูกกักสามารถทำให้พลังงานมีค่าไม่ต่อเนื่องได้ รูปแบบเดียวกันนี้ยังปรากฏในอะตอม บ่อศักย์ควอนตัม และระบบถูกยึดเหนี่ยวอื่น ๆ

มันยังแสดงให้เห็นด้วยว่าเงื่อนไขขอบไม่ใช่รายละเอียดเล็กน้อย ในกลศาสตร์ควอนตัม การจัดวางทางกายภาพและฟังก์ชันคลื่นที่ยอมรับได้มีความเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสมการชโรดิงเงอร์

• มองว่า $\psi$ เองคือความน่าจะเป็น ในการตีความมาตรฐาน ความหนาแน่นความน่าจะเป็นคือ $|\psi|^2$ หลังการนอร์มัลไลซ์
• ใช้สมการไม่ขึ้นกับเวลาเหมือนกับว่าใช้ได้เสมอ มันเป็นเครื่องมือที่ถูกต้องเฉพาะสำหรับปัญหาสถานะคงตัวที่มีพลังงานศักย์ไม่ขึ้นกับเวลาเท่านั้น
• คาดหวังว่าสมการจะให้วิถีแบบคลาสสิกที่แน่นอน โดยทั่วไปแล้วมันอธิบายวิวัฒนาการของฟังก์ชันคลื่น ไม่ใช่เส้นทางเดียว
• ลืมว่าเงื่อนไขขอบสามารถเปลี่ยนได้ว่าคำตอบใดบ้างที่ยอมรับได้ทางกายภาพ

สมการชโรดิงเงอร์ถูกนำไปใช้ที่ไหน

สมการนี้ถูกใช้ในฟิสิกส์อะตอม ฟิสิกส์โมเลกุล ปัญหาการทะลุผ่านกำแพงศักย์ แบบจำลองสารกึ่งตัวนำ และหลายส่วนของเคมีควอนตัม ในแต่ละกรณี พลังงานศักย์ที่แน่นอนและรายละเอียดของระบบอาจเปลี่ยนไป แต่กรอบแนวคิดหลักยังคงเหมือนเดิม

สำหรับความเร็วที่สูงมาก หรือเมื่อผลของสัมพัทธภาพมีความสำคัญ สมการชโรดิงเงอร์จะไม่ใช่แบบจำลองที่สมบูรณ์ ในกรณีนั้นจำเป็นต้องใช้สมการที่ก้าวหน้ากว่า

ลองเปลี่ยนโจทย์ในลักษณะคล้ายกัน

คงกล่องเดิมไว้ แต่แทน $L$ ด้วย $2L$ โดยไม่ต้องคำนวณมากนัก ลองทำนายว่า $E_1$ และระยะห่างระหว่างระดับพลังงานที่อยู่ใกล้กันจะเปลี่ยนไปอย่างไร ถ้าคุณต้องการการเปรียบเทียบที่มีประโยชน์หลังจากนั้น ลองดู สมการคลื่น และสังเกตว่าทั้งสองสมการเชื่อมสมการเชิงอนุพันธ์เข้ากับข้อจำกัดทางกายภาพอย่างไร แม้จะทำในคนละแบบก็ตาม