파동 방정식

파동 방정식은 파동이 공간과 시간에 따라 어떻게 변하는지를 알려줍니다. 파동 속도가 $v$로 일정한 표준 1차원 모델에서는 다음과 같습니다.

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

여기서 $u(x,t)$는 파동량입니다. 문제에 따라 줄의 변위, 소리에서의 작은 압력 변화, 또는 다른 파동의 진폭을 뜻할 수 있습니다.

파동 방정식의 의미

왼쪽은 한 점에서 파동값이 시간에 따라 얼마나 가속하는지를 나타냅니다. 오른쪽은 파동의 모양이 공간에서 얼마나 휘어 있는지를 나타냅니다.

이 연결이 핵심 아이디어입니다. 파동의 어떤 부분이 휘어 있으면 그 곡률이 교란이 어떻게 변하는지를 결정하고, 그래서 그 모양이 이동할 수 있습니다.

1차원 파동 방정식이 적용되는 경우

위 식은 모든 파동에 그대로 적용되는 보편 공식은 아닙니다. 이것은 흔히 쓰는 일정한 속도의 $1$차원 형태이므로, 적용 조건이 중요합니다.

이 식은 이상화된 팽팽한 줄에서의 작은 횡파나, 균일한 매질에서의 단순한 음파 모델에 잘 맞습니다. 매질이 위치에 따라 달라지거나, 기하가 더 복잡하거나, 운동을 1차원으로 잘 근사할 수 없다면 방정식의 형태도 보통 달라집니다.

예제: 진행하는 사인파 확인하기

다음을 보겠습니다.

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

이 식은 진폭이 $A$, 파수가 $k$, 각진동수가 $\omega$인 오른쪽으로 진행하는 사인파를 나타냅니다.

시간에 대해 두 번 미분하면

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

위치에 대해 두 번 미분하면

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

이제 두 결과를 파동 방정식에 대입하면

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

다음을 얻습니다.

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

따라서 이 사인파가 해가 되려면 반드시

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

이어야 합니다.

파동 속도를 양수로 두면 이는

$$v = \frac{\omega}{k}$$

가 됩니다.

기억해 둘 유용한 확인법은 이것입니다. 진행하는 사인파는 파동 방정식을 만족하지만, $\omega$, $k$, $v$가 올바르게 맞아떨어질 때만 그렇습니다.

파동 방정식에서 자주 하는 실수

• 단순한 형태를 보편적인 식으로 여기는 것. 이 식은 적절한 $1$차원 모델에서 파동 속도가 일정하다고 가정합니다.
• $u$가 위치와 시간 모두에 의존한다는 점을 잊는 것. 그래서 편미분이 나타납니다.
• 파동의 이동과 매질 자체의 운동을 혼동하는 것. 줄에서는 파동 무늬가 줄을 따라 이동하지만, 각 점은 주로 위아래로 움직입니다.
• 아무 사인파나 자동으로 된다고 생각하는 것. 이 모델에서는 매개변수들이 $v = \omega/k$를 만족해야 합니다.

파동 방정식이 쓰이는 곳

파동 방정식은 작은 교란이 매질이나 장을 통해 파동처럼 전파될 때 나타납니다. 기초 물리에서는 진동하는 줄과 소리를 다룰 때 사용하고, 전자기학과 물리학의 다른 분야에서도 관련된 형태가 등장합니다.

비슷한 확인을 직접 해보기

다음을 보세요.

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

$x$에 대해 두 번, $t$에 대해 두 번 미분한 뒤, $v = 3$일 때 이 식이 파동 방정식을 만족하는지 확인해 보세요. 그다음 직접 변형해 보고 싶다면 $6$을 다른 값으로 바꿔 보고, 어떤 파동 속도에서 방정식이 성립하는지도 확인해 보세요.