Phương trình sóng

Phương trình sóng cho biết sóng thay đổi theo không gian và thời gian như thế nào. Trong mô hình một chiều tiêu chuẩn với tốc độ sóng không đổi $v$, nó có dạng

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Ở đây, $u(x,t)$ là đại lượng sóng. Tùy theo bài toán, nó có thể là độ dời của dây, một biến thiên áp suất nhỏ trong âm thanh, hoặc một biên độ sóng khác.

Phương Trình Sóng Có Ý Nghĩa Gì

Vế trái đo gia tốc theo thời gian của giá trị sóng tại một điểm. Vế phải đo độ cong của dạng sóng theo không gian.

Mối liên hệ đó là ý chính. Nếu một phần của sóng bị cong, độ cong đó chi phối cách nhiễu động tiến triển, và đó là lý do dạng sóng có thể truyền đi.

Khi Nào Phương Trình Sóng 1D Áp Dụng Được

Phương trình ở trên không phải là công thức chung cho mọi loại sóng. Đây là dạng một chiều $1$D với tốc độ không đổi thường gặp, nên các điều kiện áp dụng rất quan trọng.

Nó phù hợp với sóng ngang nhỏ trên một sợi dây căng lý tưởng hóa và với các mô hình âm thanh đơn giản trong môi trường đồng nhất. Nếu môi trường thay đổi theo vị trí, hình học phức tạp hơn, hoặc chuyển động không thể xấp xỉ tốt là một chiều, thì phương trình thường cũng sẽ thay đổi.

Ví Dụ Có Lời Giải: Kiểm Tra Một Sóng Sin Truyền

Lấy

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Biểu thức này mô tả một sóng hình sin truyền sang phải với biên độ $A$, số sóng $k$ và tần số góc $\omega$.

Lấy đạo hàm hai lần theo thời gian:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Lấy đạo hàm hai lần theo vị trí:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Bây giờ thay cả hai kết quả vào phương trình sóng:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Ta được

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Vì vậy, sóng sin chỉ là nghiệm nếu

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Với tốc độ sóng dương, điều này trở thành

$$v = \frac{\omega}{k}$$

Đây là điều hữu ích cần nhớ: một sóng sin truyền đúng là thỏa mãn phương trình sóng, nhưng chỉ khi $\omega$, $k$ và $v$ khớp với nhau một cách chính xác.

Những Lỗi Thường Gặp Với Phương Trình Sóng

• Coi dạng đơn giản này là công thức tổng quát. Nó giả sử tốc độ sóng không đổi trong một mô hình $1$D phù hợp.
• Quên rằng $u$ phụ thuộc vào cả vị trí lẫn thời gian. Đó là lý do xuất hiện đạo hàm riêng.
• Nhầm lẫn giữa chuyển động của sóng và chuyển động của vật chất. Trên dây, dạng sóng truyền dọc theo dây trong khi mỗi điểm chủ yếu chuyển động lên xuống.
• Cho rằng mọi sóng sin đều tự động dùng được. Trong mô hình này, các tham số phải thỏa mãn $v = \omega/k$.

Phương Trình Sóng Được Dùng Ở Đâu

Phương trình sóng xuất hiện bất cứ khi nào một nhiễu động nhỏ truyền qua một môi trường hoặc trường theo kiểu sóng. Vật lý nhập môn dùng nó cho dây dao động và âm thanh, và các dạng liên quan cũng xuất hiện trong điện từ học và những phần khác của vật lý.

Thử Một Bài Kiểm Tra Tương Tự

Lấy

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Lấy đạo hàm hai lần theo $x$ và hai lần theo $t$, rồi kiểm tra xem nó có thỏa mãn phương trình sóng với $v = 3$ hay không. Nếu muốn tự thử một phiên bản khác sau đó, hãy đổi số $6$ thành một giá trị khác và xem tốc độ sóng nào làm cho phương trình đúng.