Ecuación de onda

La ecuación de onda te dice cómo cambia una onda en el espacio y en el tiempo. En el modelo unidimensional estándar con velocidad de onda constante $v$, es

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Aquí, $u(x,t)$ es la magnitud ondulatoria. Según el problema, puede representar el desplazamiento de una cuerda, una pequeña variación de presión en el sonido u otra amplitud de onda.

Qué significa la ecuación de onda

El lado izquierdo mide cómo se acelera en el tiempo el valor de la onda en un punto. El lado derecho mide cuánta curvatura tiene la forma de la onda en el espacio.

Esa relación es la idea principal. Si una parte de la onda está curvada, esa curvatura determina cómo evoluciona la perturbación, y por eso la forma puede propagarse.

Cuándo se aplica la ecuación de onda 1D

La ecuación anterior no es una fórmula universal para cualquier onda. Es la forma común en $1$D con velocidad constante, así que las condiciones importan.

Funciona bien para ondas transversales pequeñas en una cuerda tensa idealizada y para modelos simples del sonido en un medio uniforme. Si el medio cambia con la posición, la geometría es más complicada o el movimiento no se puede aproximar bien como unidimensional, la ecuación normalmente también cambia.

Ejemplo resuelto: comprobar una onda sinusoidal viajera

Toma

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Esto describe una onda sinusoidal que se mueve hacia la derecha, con amplitud $A$, número de onda $k$ y frecuencia angular $\omega$.

Deriva dos veces con respecto al tiempo:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Deriva dos veces con respecto a la posición:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Ahora sustituye ambos resultados en la ecuación de onda:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Eso da

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Así que la onda sinusoidal es una solución solo si

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Para una velocidad de onda positiva, esto se convierte en

$$v = \frac{\omega}{k}$$

Esta es la comprobación útil que conviene recordar: una onda sinusoidal viajera sí satisface la ecuación de onda, pero solo cuando $\omega$, $k$ y $v$ coinciden correctamente.

Errores comunes con la ecuación de onda

• Tratar la forma simple como si fuera universal. Supone una velocidad de onda constante en un modelo $1$D adecuado.
• Olvidar que $u$ depende tanto de la posición como del tiempo. Por eso aparecen derivadas parciales.
• Confundir el movimiento de la onda con el movimiento del material. En una cuerda, el patrón se desplaza a lo largo de la cuerda mientras cada punto se mueve principalmente hacia arriba y hacia abajo.
• Suponer que cualquier onda sinusoidal funciona automáticamente. En este modelo, los parámetros deben cumplir $v = \omega/k$.

Dónde se usa la ecuación de onda

La ecuación de onda aparece siempre que una perturbación pequeña se propaga a través de un medio o campo de manera ondulatoria. En física introductoria se usa para cuerdas vibrantes y sonido, y formas relacionadas aparecen en electromagnetismo y en otras partes de la física.

Prueba una comprobación similar

Toma

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Deriva dos veces respecto de $x$ y dos veces respecto de $t$, y luego comprueba si satisface la ecuación de onda con $v = 3$. Si después quieres probar tu propia versión, cambia el $6$ por otro valor y mira qué velocidad de onda hace que la ecuación funcione.