Dalga Denklemi

Dalga denklemi, bir dalganın uzayda ve zamanda nasıl değiştiğini söyler. Sabit dalga hızı $v$ olan standart tek boyutlu modelde denklem şöyledir:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Burada $u(x,t)$ dalga büyüklüğüdür. Probleme bağlı olarak bu, bir telin yer değiştirmesi, seste küçük bir basınç değişimi ya da başka bir dalga genliği anlamına gelebilir.

Dalga Denklemi Ne Anlama Gelir

Sol taraf, dalga değerinin bir noktada zamana göre nasıl ivmelendiğini ölçer. Sağ taraf ise dalga şeklinin uzaydaki eğriliğini ölçer.

Temel fikir bu bağlantıdır. Dalganın bir kısmı eğriyse, bu eğrilik bozuntunun nasıl evrileceğini belirler; bu yüzden şekil ilerleyebilir.

1B Dalga Denklemi Ne Zaman Geçerlidir

Yukarıdaki denklem, her dalga için geçerli evrensel bir formül değildir. Bu, yaygın kullanılan sabit hızlı $1$B biçimdir; dolayısıyla koşullar önemlidir.

İdealize edilmiş gerilmiş bir tel üzerindeki küçük enine dalgalar için ve düzgün bir ortamda basit ses modelleri için iyi çalışır. Ortam konuma göre değişiyorsa, geometri daha karmaşıksa ya da hareket tek boyutlu olarak iyi yaklaşıklanamıyorsa, denklem de genellikle değişir.

Çözümlü Örnek: İlerleyen Bir Sinüs Dalgasını Kontrol Edelim

Şunu alın:

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Bu, genliği $A$, dalga sayısı $k$ ve açısal frekansı $\omega$ olan sağa doğru ilerleyen sinüzoidal bir dalgayı tanımlar.

Zamana göre iki kez türev alın:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Konuma göre iki kez türev alın:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Şimdi iki sonucu da dalga denklemine yerleştirin:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Bu da şunu verir:

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Dolayısıyla sinüs dalgası ancak şu koşulda bir çözümdür:

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Pozitif bir dalga hızı için bu,

$$v = \frac{\omega}{k}$$

şeklini alır.

Hatırlanması gereken yararlı kontrol şudur: İlerleyen bir sinüs dalgası dalga denklemini gerçekten sağlar, ama yalnızca $\omega$, $k$ ve $v$ doğru ilişkiyi sağladığında.

Dalga Denklemiyle İlgili Yaygın Hatalar

• Basit biçimi evrensel sanmak. Bu biçim, uygun bir $1$B modelde sabit dalga hızı varsayar.
• $u$'nun hem konuma hem zamana bağlı olduğunu unutmak. Kısmi türevlerin görünme nedeni budur.
• Dalganın hareketi ile maddenin hareketini karıştırmak. Bir telde desen tel boyunca ilerlerken, her nokta esas olarak yukarı ve aşağı hareket eder.
• Her sinüs dalgasının otomatik olarak çalıştığını sanmak. Bu modelde parametrelerin $v = \omega/k$ koşulunu sağlaması gerekir.

Dalga Denklemi Nerelerde Kullanılır

Dalga denklemi, küçük bir bozuntu bir ortam ya da alan içinde dalga benzeri şekilde ilerlediğinde ortaya çıkar. Giriş düzeyi fizikte titreşen teller ve ses için kullanılır; benzer biçimleri elektromanyetizmada ve fiziğin başka alanlarında da görülür.

Benzer Bir Kontrol Deneyin

Şunu alın:

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

$x$'e göre iki kez ve $t$'ye göre iki kez türev alın, sonra $v = 3$ için dalga denklemini sağlayıp sağlamadığını test edin. Ardından kendi sürümünüzü denemek isterseniz, $6$ yerine başka bir değer yazın ve denklemi hangi dalga hızının sağladığını görün.