Wellengleichung

Die Wellengleichung beschreibt, wie sich eine Welle in Raum und Zeit verändert. Im üblichen eindimensionalen Modell mit konstanter Wellengeschwindigkeit $v$ lautet sie

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Hier ist $u(x,t)$ die Wellengröße. Je nach Problem kann das die Auslenkung einer Saite, eine kleine Druckänderung bei Schall oder eine andere Wellenamplitude sein.

Was die Wellengleichung bedeutet

Die linke Seite misst, wie stark sich der Wellenwert an einem Punkt zeitlich beschleunigt. Die rechte Seite misst, wie stark die Wellenform im Raum gekrümmt ist.

Diese Verknüpfung ist die zentrale Idee. Wenn ein Teil der Welle gekrümmt ist, bestimmt diese Krümmung, wie sich die Störung weiterentwickelt, und deshalb kann sich die Form fortbewegen.

Wann die 1D-Wellengleichung gilt

Die obige Gleichung ist keine universelle Formel für jede Welle. Sie ist die übliche $1$D-Form mit konstanter Geschwindigkeit, daher sind die Voraussetzungen wichtig.

Sie funktioniert gut für kleine transversale Wellen auf einer idealisierten gespannten Saite und für einfache Schallmodelle in einem homogenen Medium. Wenn sich das Medium mit dem Ort ändert, die Geometrie komplizierter ist oder die Bewegung nicht gut als eindimensional angenähert werden kann, ändert sich die Gleichung meist ebenfalls.

Durchgerechnetes Beispiel: Eine laufende Sinuswelle prüfen

Nimm

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Das beschreibt eine sich nach rechts ausbreitende sinusförmige Welle mit Amplitude $A$, Wellenzahl $k$ und Kreisfrequenz $\omega$.

Leite zweimal nach der Zeit ab:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Leite zweimal nach dem Ort ab:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Setze nun beide Ergebnisse in die Wellengleichung ein:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Dann erhält man

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Die Sinuswelle ist also nur dann eine Lösung, wenn

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Für eine positive Wellengeschwindigkeit wird daraus

$$v = \frac{\omega}{k}$$

Das ist die nützliche Kontrolle, die du dir merken solltest: Eine laufende Sinuswelle erfüllt die Wellengleichung tatsächlich, aber nur dann, wenn $\omega$, $k$ und $v$ korrekt zusammenpassen.

Häufige Fehler bei der Wellengleichung

• Die einfache Form als universell zu behandeln. Sie setzt eine konstante Wellengeschwindigkeit in einem passenden $1$D-Modell voraus.
• Zu vergessen, dass $u$ sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängt. Deshalb treten partielle Ableitungen auf.
• Die Bewegung der Welle mit der Bewegung des Materials zu verwechseln. Auf einer Saite wandert das Muster entlang der Saite, während sich jeder Punkt hauptsächlich auf und ab bewegt.
• Anzunehmen, dass jede Sinuswelle automatisch funktioniert. In diesem Modell müssen die Parameter $v = \omega/k$ erfüllen.

Wo die Wellengleichung verwendet wird

Die Wellengleichung tritt immer dann auf, wenn sich eine kleine Störung wellenartig durch ein Medium oder Feld ausbreitet. In der einführenden Physik wird sie für schwingende Saiten und Schall verwendet, und verwandte Formen erscheinen in der Elektromagnetik und in anderen Bereichen der Physik.

Probiere eine ähnliche Prüfung aus

Nimm

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Leite zweimal nach $x$ und zweimal nach $t$ ab und prüfe dann, ob die Funktion die Wellengleichung mit $v = 3$ erfüllt. Wenn du danach deine eigene Variante ausprobieren willst, ersetze die $6$ durch einen anderen Wert und schau, bei welcher Wellengeschwindigkeit die Gleichung funktioniert.