Equazione delle onde

L’equazione delle onde descrive come un’onda cambia nello spazio e nel tempo. Nel modello standard unidimensionale con velocità dell’onda costante $v$, è

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Qui, $u(x,t)$ è la grandezza ondulatoria. A seconda del problema, può rappresentare lo spostamento di una corda, una piccola variazione di pressione nel suono oppure un’altra ampiezza d’onda.

Cosa Significa L’Equazione Delle Onde

Il lato sinistro misura come il valore dell’onda accelera nel tempo in un punto. Il lato destro misura quanto la forma dell’onda è curva nello spazio.

Questo legame è l’idea principale. Se una parte dell’onda è curva, quella curvatura determina come evolve la perturbazione, ed è per questo che la forma può propagarsi.

Quando Si Applica L’Equazione Delle Onde In 1D

L’equazione sopra non è una formula universale per ogni onda. È la forma comune in $1$D a velocità costante, quindi le condizioni contano.

Funziona bene per piccole onde trasversali su una corda tesa idealizzata e per modelli semplici del suono in un mezzo uniforme. Se il mezzo cambia con la posizione, la geometria è più complicata oppure il moto non è ben approssimato come unidimensionale, di solito cambia anche l’equazione.

Esempio Svolto: Verifica Di Un’Onda Sinusoidale Viaggiante

Prendi

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Questa descrive un’onda sinusoidale che si muove verso destra con ampiezza $A$, numero d’onda $k$ e frequenza angolare $\omega$.

Deriva due volte rispetto al tempo:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Deriva due volte rispetto alla posizione:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Ora sostituisci entrambi i risultati nell’equazione delle onde:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Si ottiene

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Quindi l’onda sinusoidale è una soluzione solo se

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Per una velocità dell’onda positiva, questo diventa

$$v = \frac{\omega}{k}$$

Questo è il controllo utile da ricordare: un’onda sinusoidale viaggiante soddisfa davvero l’equazione delle onde, ma solo quando $\omega$, $k$ e $v$ sono collegati correttamente.

Errori Comuni Sull’Equazione Delle Onde

• Trattare la forma semplice come universale. Essa assume una velocità dell’onda costante in un modello $1$D adatto.
• Dimenticare che $u$ dipende sia dalla posizione sia dal tempo. Per questo compaiono le derivate parziali.
• Confondere il moto dell’onda con il moto del materiale. Su una corda, il profilo si propaga lungo la corda mentre ogni punto si muove soprattutto in alto e in basso.
• Supporre che qualunque onda sinusoidale funzioni automaticamente. In questo modello, i parametri devono soddisfare $v = \omega/k$.

Dove Si Usa L’Equazione Delle Onde

L’equazione delle onde compare ogni volta che una piccola perturbazione si propaga in un mezzo o in un campo in modo ondulatorio. Nei corsi introduttivi di fisica si usa per corde vibranti e suono, e forme correlate compaiono nell’elettromagnetismo e in altre parti della fisica.

Prova Un Controllo Simile

Prendi

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Deriva due volte rispetto a $x$ e due volte rispetto a $t$, poi verifica se soddisfa l’equazione delle onde con $v = 3$. Se poi vuoi provare una tua variante, cambia il $6$ con un altro valore e osserva quale velocità dell’onda fa funzionare l’equazione.