คลื่นนิ่ง

คลื่นนิ่งคือรูปแบบของคลื่นที่ไม่เคลื่อนที่ผ่านตัวกลางเหมือนคลื่นทั่วไป ในกรณีอุดมคติ คลื่นนิ่งเกิดเมื่อคลื่นสองขบวนที่มีความถี่และแอมพลิจูดเท่ากัน เคลื่อนที่สวนทางกันในตัวกลางเดียวกันและเกิดการแทรกสอดกัน ผลลัพธ์คือรูปแบบที่อยู่นิ่ง โดยมีตำแหน่งของปมและป่องคงที่

สำหรับแบบจำลองอุดมคติมาตรฐาน การกระจัดเขียนได้เป็น

$$y(x,t) = 2A \sin(kx)\cos(\omega t)$$

พจน์ตามเวลา $\cos(\omega t)$ ทำให้ตัวกลางยังคงสั่นอยู่ ส่วนพจน์ตามตำแหน่ง $\sin(kx)$ กำหนดว่าตำแหน่งใดมีแอมพลิจูดเป็นศูนย์เสมอ และตำแหน่งใดมีแอมพลิจูดมากที่สุด

ปมและป่องในคลื่นนิ่ง

ปมคือจุดที่การกระจัดเป็นศูนย์ตลอดเวลา ป่องคือจุดที่การสั่นมีแอมพลิจูดมากที่สุด

นี่คือจุดสังเกตสำคัญทางภาพ บางจุดไม่เคลื่อนที่เลย ขณะที่จุดใกล้เคียงสั่นด้วยแอมพลิจูดต่างกัน รูปแบบโดยรวมคงที่ในอวกาศ แม้ว่าวัสดุของเส้นเชือกหรือคอลัมน์อากาศยังคงเคลื่อนที่อยู่

คลื่นนิ่งเกิดขึ้นเมื่อใด

ภาพที่พบบ่อยคือคลื่นสะท้อนจากขอบเขตแล้วซ้อนทับกับคลื่นที่กำลังเคลื่อนที่เข้ามา สำหรับเส้นเชือกอุดมคติที่ตรึงปลายทั้งสองด้าน จะมีเพียงบางรูปแบบเท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตที่ว่าปลายทั้งสองต้องมีการกระจัดเป็นศูนย์

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมคลื่นนิ่งบนเส้นเชือกจึงเกิดได้เฉพาะที่ความยาวคลื่นและความถี่บางค่า ซึ่งเรียกว่าโหมดปกติหรือฮาร์มอนิก

สำหรับเส้นเชือกยาว $L$ ที่ตรึงปลายทั้งสองด้าน

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}$$

และ

$$f_n = \frac{nv}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

โดยที่ $v$ คืออัตราเร็วคลื่นบนเส้นเชือก และ $n$ ใช้ระบุลำดับฮาร์มอนิก

สูตรเหล่านี้ขึ้นอยู่กับลักษณะของระบบ ใช้ได้กับเส้นเชือกอุดมคติที่ตรึงปลายทั้งสองด้าน ไม่ได้ใช้ได้กับทุกระบบของคลื่นนิ่ง

ตัวอย่างคำนวณ: ฮาร์มอนิกที่สามบนเส้นเชือกที่ตรึงปลาย

สมมติว่าเส้นเชือกเส้นหนึ่งตรึงปลายทั้งสองด้าน มีความยาว $L = 0.60\ \mathrm{m}$ และรองรับคลื่นที่มีอัตราเร็ว $v = 120\ \mathrm{m/s}$ จงหาความถี่ของฮาร์มอนิกที่สาม

สำหรับเส้นเชือกที่ตรึงปลาย

$$f_n = \frac{nv}{2L}$$

แทนค่า $n = 3$

$$f_3 = \frac{3(120)}{2(0.60)} = \frac{360}{1.20} = 300\ \mathrm{Hz}$$

ดังนั้น ความถี่ของฮาร์มอนิกที่สามคือ $300\ \mathrm{Hz}$

รูปร่างของคลื่นก็สำคัญเช่นกัน ฮาร์มอนิกที่สามบรรจุครึ่งความยาวคลื่นได้สามช่วงพอดีในเส้นเชือก ดังนั้นเส้นเชือกจึงมีปมที่ปลายทั้งสองด้านและมีปมภายในอีกสองจุด ระยะระหว่างปมที่อยู่ติดกันคือ $L/3 = 0.20\ \mathrm{m}$

มองให้ออกเร็ว: ทำไมรูปแบบจึงดูเหมือนหยุดนิ่ง

คลื่นเดินทางจะพายอดคลื่นและท้องคลื่นเคลื่อนจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง แต่คลื่นนิ่งไม่เป็นเช่นนั้น การแทรกสอดทำให้ตำแหน่งของปมและป่องถูกตรึงไว้

พลังงานยังคงมีอยู่ในระบบ แต่รูปแบบที่มองเห็นไม่ได้เคลื่อนที่ไปตามตัวกลางแบบเดียวกับคลื่นเดินทางเดี่ยว ๆ นี่คือความแตกต่างหลักที่นักเรียนมักต้องเข้าใจก่อน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับคลื่นนิ่ง

• เรียกรูปร่างที่สั่นทุกแบบว่าคลื่นนิ่ง ลักษณะสำคัญของคลื่นนิ่งคือมีปมคงที่
• ใช้ $f_n = \frac{nv}{2L}$ โดยไม่ระบุเงื่อนไขว่าเส้นเชือกต้องตรึงปลายทั้งสองด้าน
• คิดว่าตัวกลางหยุดนิ่งเพราะรูปแบบคลื่นอยู่นิ่ง รูปแบบอยู่นิ่งก็จริง แต่จุดส่วนใหญ่ยังคงสั่นอยู่
• คิดว่าคลื่นสะท้อนทุกกรณีจะสร้างคลื่นนิ่งสมบูรณ์ได้ กรณีที่ชัดที่สุดต้องมีความถี่ตรงกัน เคลื่อนที่สวนทางกัน และมีเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม
• สับสนระหว่างปมกับป่อง ปมมีการกระจัดเป็นศูนย์ ส่วนป่องมีแอมพลิจูดมากที่สุด

คลื่นนิ่งพบได้ที่ไหน

คลื่นนิ่งมีความสำคัญในเส้นเชือก คอลัมน์อากาศ เครื่องดนตรี โพรงไมโครเวฟ และปัญหาเรโซแนนซ์จำนวนมากในฟิสิกส์และวิศวกรรม

คลื่นนิ่งมีประโยชน์เพราะโหมดที่เป็นไปได้มีค่าไม่ต่อเนื่อง เมื่อกำหนดขอบเขตแล้ว จะมีเพียงบางรูปแบบเท่านั้นที่พอดี และนั่นคือสิ่งที่ทำให้ฮาร์มอนิกมีโครงสร้างเฉพาะตัว

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองแก้โจทย์เส้นเชือกเดิมอีกครั้ง แต่ใช้ฮาร์มอนิกที่หนึ่งหรือที่สองแทนฮาร์มอนิกที่สาม การเปลี่ยนแค่ค่า $n$ เป็นวิธีเร็วในการดูว่าความยาวคลื่น รูปแบบของปม และความถี่เชื่อมโยงกันอย่างไร

ถ้าคุณอยากสำรวจกรณีของคลื่นแบบอื่นต่อจากนี้ ลองเปรียบเทียบหัวข้อนี้กับ การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน คลื่นนิ่งก็เกิดจากการแทรกสอดเช่นกัน แต่เรขาคณิตและเงื่อนไขขอบเขตมีบทบาทมากกว่ามาก