Κυματική εξίσωση

Η κυματική εξίσωση δείχνει πώς μεταβάλλεται ένα κύμα στον χώρο και στον χρόνο. Στο τυπικό μονοδιάστατο μοντέλο με σταθερή ταχύτητα κύματος $v$, είναι

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Εδώ, το $u(x,t)$ είναι το μέγεθος του κύματος. Ανάλογα με το πρόβλημα, μπορεί να σημαίνει τη μετατόπιση μιας χορδής, μια μικρή μεταβολή πίεσης στον ήχο ή κάποιο άλλο πλάτος κύματος.

Τι σημαίνει η κυματική εξίσωση

Το αριστερό μέλος μετρά πόσο επιταχύνεται χρονικά η τιμή του κύματος σε ένα σημείο. Το δεξί μέλος μετρά πόσο καμπύλο είναι το σχήμα του κύματος στον χώρο.

Αυτή η σύνδεση είναι η βασική ιδέα. Αν ένα τμήμα του κύματος έχει καμπυλότητα, αυτή η καμπυλότητα καθορίζει πώς εξελίσσεται η διαταραχή, και γι’ αυτό το σχήμα μπορεί να διαδίδεται.

Πότε εφαρμόζεται η μονοδιάστατη κυματική εξίσωση

Η παραπάνω εξίσωση δεν είναι ένας καθολικός τύπος για κάθε κύμα. Είναι η συνηθισμένη μονοδιάστατη μορφή με σταθερή ταχύτητα, οπότε οι συνθήκες έχουν σημασία.

Λειτουργεί καλά για μικρά εγκάρσια κύματα σε μια ιδανική τεντωμένη χορδή και για απλά μοντέλα ήχου σε ομογενές μέσο. Αν το μέσο αλλάζει με τη θέση, η γεωμετρία είναι πιο πολύπλοκη ή η κίνηση δεν προσεγγίζεται καλά ως μονοδιάστατη, τότε συνήθως αλλάζει και η εξίσωση.

Λυμένο παράδειγμα: Έλεγχος ενός διαδιδόμενου ημιτονικού κύματος

Πάρε

$$u(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$$

Αυτό περιγράφει ένα ημιτονικό κύμα που κινείται προς τα δεξιά, με πλάτος $A$, κυματικό αριθμό $k$ και γωνιακή συχνότητα $\omega$.

Παραγώγισε δύο φορές ως προς τον χρόνο:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\omega^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Παραγώγισε δύο φορές ως προς τη θέση:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 A \sin(kx - \omega t)$$

Τώρα βάλε και τα δύο αποτελέσματα στην κυματική εξίσωση:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Αυτό δίνει

$$-\omega^2 A \sin(kx - \omega t) = v^2 \left(-k^2 A \sin(kx - \omega t)\right)$$

Άρα το ημιτονικό κύμα είναι λύση μόνο αν

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Για θετική ταχύτητα κύματος, αυτό γίνεται

$$v = \frac{\omega}{k}$$

Αυτός είναι ο χρήσιμος έλεγχος που πρέπει να θυμάσαι: ένα διαδιδόμενο ημιτονικό κύμα ικανοποιεί πράγματι την κυματική εξίσωση, αλλά μόνο όταν τα $\omega$, $k$ και $v$ ταιριάζουν σωστά.

Συνηθισμένα λάθη στην κυματική εξίσωση

• Να θεωρείς την απλή μορφή καθολική. Υποθέτει σταθερή ταχύτητα κύματος σε ένα κατάλληλο μονοδιάστατο μοντέλο.
• Να ξεχνάς ότι το $u$ εξαρτάται και από τη θέση και από τον χρόνο. Γι’ αυτό εμφανίζονται μερικές παράγωγοι.
• Να μπερδεύεις την κίνηση του κύματος με την κίνηση του υλικού. Σε μια χορδή, το πρότυπο διαδίδεται κατά μήκος της χορδής, ενώ κάθε σημείο κινείται κυρίως πάνω και κάτω.
• Να υποθέτεις ότι κάθε ημιτονικό κύμα λειτουργεί αυτόματα. Σε αυτό το μοντέλο, οι παράμετροι πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση $v = \omega/k$.

Πού χρησιμοποιείται η κυματική εξίσωση

Η κυματική εξίσωση εμφανίζεται κάθε φορά που μια μικρή διαταραχή διαδίδεται μέσα σε ένα μέσο ή πεδίο με κυματικό τρόπο. Στην εισαγωγική φυσική χρησιμοποιείται για δονούμενες χορδές και για τον ήχο, ενώ σχετικές μορφές εμφανίζονται στον ηλεκτρομαγνητισμό και σε άλλα μέρη της φυσικής.

Δοκίμασε έναν παρόμοιο έλεγχο

Πάρε

$$u(x,t) = 3 \sin(2x - 6t)$$

Παραγώγισε δύο φορές ως προς το $x$ και δύο φορές ως προς το $t$, και μετά έλεγξε αν ικανοποιεί την κυματική εξίσωση με $v = 3$. Αν θέλεις να δοκιμάσεις και τη δική σου εκδοχή μετά, άλλαξε το $6$ σε κάποια άλλη τιμή και δες ποια ταχύτητα κύματος κάνει την εξίσωση να ισχύει.