ปริมาตรทรงกระบอก — สูตรและตัวอย่าง

การหาปริมาตรทรงกระบอก ทำได้โดยนำพื้นที่ฐานวงกลมคูณด้วยความสูง สำหรับทรงกระบอกกลมตรงที่มีรัศมี $r$ และความสูง $h$ จะได้ว่า

$$V = \pi r^2 h$$

โดยที่ $r$ คือรัศมีของฐาน และ $h$ คือความสูงตั้งฉากระหว่างหน้าวงกลมทั้งสองด้าน ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง $d$ มาแทน ให้แปลงก่อนด้วย $r = \frac{d}{2}$

ทำไมสูตรปริมาตรทรงกระบอกจึงใช้ได้

แนวคิดนั้นง่ายมาก: ปริมาตรเท่ากับพื้นที่ฐานคูณความสูง ทรงกระบอกเป็นปริซึมที่มีฐานเป็นวงกลม ดังนั้นพื้นที่ฐานคือ $\pi r^2$ จึงได้ว่า

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

สิ่งนี้ยังอธิบายรูปแบบของตัวแปรในสูตรด้วย รัศมียกกำลังสองเพราะมาจากสูตรพื้นที่วงกลม ส่วนความสูงคูณเพียงครั้งเดียว ถ้าความสูงเพิ่มเป็นสองเท่า ปริมาตรก็เพิ่มเป็นสองเท่า แต่ถ้ารัศมีเพิ่มเป็นสองเท่า ปริมาตรจะเพิ่มเป็นสี่เท่า เพราะพื้นที่ฐานขึ้นอยู่กับ $r^2$

ตัวอย่างโจทย์: ทรงกระบอกที่มีรัศมี $4$ ซม. และความสูง $10$ ซม.

เริ่มจากสูตร:

$$V = \pi r^2 h$$

แทนค่า $r = 4$ และ $h = 10$:

$$V = \pi (4)^2(10)$$

ยกกำลังสองของรัศมีก่อน แล้วจึงคูณ:

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

ดังนั้นปริมาตรที่แน่นอนคือ $160\pi\ \text{cm}^3$

ถ้าโจทย์ต้องการค่าประมาณเป็นทศนิยม ให้ใช้ $\pi \approx 3.14159$:

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

ในหลายห้องเรียน มักนิยมตอบในรูปแบบที่แน่นอนเป็น $160\pi\ \text{cm}^3$ เว้นแต่โจทย์จะสั่งให้ปัดเศษ

ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมี

สมมติว่าทรงกระบอกเดียวกันนี้ถูกระบุว่ามีเส้นผ่านศูนย์กลาง $8$ ซม. และความสูง $10$ ซม. รัศมีคือครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้น $r = 4$ ซม. แล้วจะได้ว่า

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

นี่เป็นหนึ่งในข้อผิดพลาดที่พบบ่อยมากในการบ้านและข้อสอบ สูตรนี้ใช้รัศมี ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาปริมาตรทรงกระบอก

1. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนใน $V = \pi r^2 h$ โดยตรง ควรแปลงเป็นรัศมีก่อน
2. ลืมยกกำลังสองของรัศมี สูตรใช้ $r^2$ ไม่ใช่ $2r$
3. ใช้ด้านเอียงจากรูปวาดเอียงแทนความสูงตั้งฉาก สูตรต้องใช้ความสูงจริงระหว่างฐานทั้งสอง
4. เขียนหน่วยเป็นกำลังสองแทนกำลังสาม ปริมาตรต้องมีหน่วยเช่น $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ หรือ $\text{in}^3$
5. ปัดเศษเร็วเกินไป ทั้งที่โจทย์อนุญาตให้ตอบแบบที่มี $\pi$ ได้อย่างแน่นอน

ควรใช้สูตรปริมาตรทรงกระบอกเมื่อไร

ใช้สูตรปริมาตรทรงกระบอกเมื่อวัตถุสามารถจำลองเป็นทรงกระบอก หรือมีรูปร่างใกล้เคียงกับทรงกระบอก ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ กระป๋อง ท่อ ถัง เทียน และเสาทรงกลม

ถ้าวัตถุเป็นทรงกลวง สูตรนี้จะให้ปริมาตรภายนอก เว้นแต่คุณจะลบส่วนว่างด้านในออก ถ้ารัศมีเปลี่ยนไปตามความสูง รูปร่างนั้นไม่ใช่ทรงกระบอก ดังนั้นจึงใช้สูตรนี้โดยตรงไม่ได้

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้รัศมี $6$ ซม. และความสูง $3$ ซม. ตั้งสมการก่อนคำนวณ:

$$V = \pi (6)^2(3)$$

ถ้าคุณได้ $108\pi\ \text{cm}^3$ แสดงว่าการตั้งสมการของคุณถูกต้องสอดคล้องกัน ถ้าต้องการก้าวต่อไปแบบชัดเจน ลองเปรียบเทียบสูตรนี้กับพื้นที่วงกลม เพื่อให้เห็นชัดว่าพจน์ $\pi r^2$ มาจากไหน