원기둥의 부피 — 공식과 예제

원기둥의 부피를 구하려면 원형 밑면의 넓이에 높이를 곱하면 됩니다. 반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 직원기둥의 경우,

V = \pi r^2 h

여기서 $r$ 은 밑면의 반지름이고, $h$ 는 두 원형 면 사이의 수직 높이입니다. 문제에서 지름 $d$ 가 주어졌다면 먼저 $r = \frac{d}{2}$ 로 바꾸세요.

원기둥 부피 공식이 성립하는 이유

핵심 아이디어는 간단합니다. 부피는 밑넓이와 높이의 곱입니다. 원기둥은 밑면이 원인 각기둥으로 볼 수 있으므로, 밑넓이는 $\pi r^2$ 입니다. 따라서

V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h

이 식은 변수의 형태도 설명해 줍니다. 반지름은 원의 넓이 공식에 들어가므로 제곱되고, 높이는 한 번만 곱해집니다. 높이가 2배가 되면 부피도 2배가 됩니다. 반지름이 2배가 되면 밑넓이가 $r^2$ 에 따라 변하므로 부피는 4배가 됩니다.

공식부터 씁니다:

V = \pi r^2 h

$r = 4$ , $h = 10$ 을 대입하면:

V = \pi (4)^2(10)

먼저 반지름을 제곱한 뒤 곱합니다:

V = \pi (16)(10) = 160\pi

따라서 정확한 부피는 $160\pi\ \text{cm}^3$ 입니다.

문제에서 소수값을 요구하면 $\pi \approx 3.14159$ 를 사용합니다:

V \approx 502.7\ \text{cm}^3

많은 수업에서는 반올림하라는 지시가 없는 한 $160\pi\ \text{cm}^3$ 처럼 정확한 형태를 더 선호합니다.

같은 원기둥이 지름 $8$ cm, 높이 $10$ cm로 주어졌다고 해 봅시다. 반지름은 지름의 절반이므로 $r = 4$ cm입니다. 그러면

V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3

이 부분은 숙제나 시험에서 가장 자주 나오는 실수 중 하나입니다. 공식에는 지름이 아니라 반지름이 들어갑니다.

$V = \pi r^2 h$ 에 지름을 그대로 넣는 것. 먼저 반지름으로 바꾸세요.
반지름을 제곱하지 않는 것. 공식은 $r^2$ 이지 $2r$ 가 아닙니다.
비스듬히 그린 그림에서 기울어진 변을 높이로 사용하는 것. 공식에는 밑면 사이의 실제 수직 높이가 필요합니다.
세제곱 단위 대신 제곱 단위를 쓰는 것. 부피의 단위는 $\text{cm}^3$ , $\text{m}^3$ , $\text{in}^3$ 처럼 세제곱 단위여야 합니다.
$\pi$ 를 포함한 정확한 답을 쓸 수 있는데 너무 일찍 반올림하는 것.

어떤 물체를 원기둥 또는 원기둥에 가까운 형태로 모델링할 수 있을 때 이 공식을 사용합니다. 대표적인 예로는 캔, 파이프, 탱크, 양초, 원형 기둥이 있습니다.

물체가 속이 비어 있다면, 안쪽의 빈 부분을 빼지 않는 한 이 공식은 바깥쪽 전체 부피를 구합니다. 높이에 따라 반지름이 달라진다면 그 도형은 원기둥이 아니므로 이 공식을 바로 적용할 수 없습니다.

반지름이 $6$ cm이고 높이가 $3$ cm인 경우를 직접 해 보세요. 계산하기 전에 먼저 식을 세우면:

V = \pi (6)^2(3)

답이 $108\pi\ \text{cm}^3$ 가 나오면 식을 올바르게 세운 것입니다. 다음 단계로 깔끔하게 연결하고 싶다면 원의 넓이 공식과 비교해 보세요. 그러면 $\pi r^2$ 부분이 어디서 나오는지 정확히 이해할 수 있습니다.

문제를 올리면 검증된 단계별 풀이를 몇 초 만에 받을 수 있습니다.