Όγκος κυλίνδρου — Τύπος και παραδείγματα

Για να βρεις τον όγκο ενός κυλίνδρου, πολλαπλασίασε το εμβαδό της κυκλικής βάσης με το ύψος. Για έναν ορθό κυκλικό κύλινδρο με ακτίνα $r$ και ύψος $h$,

$$V = \pi r^2 h$$

Εδώ, το $r$ είναι η ακτίνα της βάσης και το $h$ είναι το κάθετο ύψος ανάμεσα στις δύο κυκλικές έδρες. Αν σε μια άσκηση δίνεται αντί γι’ αυτό η διάμετρος $d$, πρώτα κάνε τη μετατροπή με $r = \frac{d}{2}$.

Γιατί λειτουργεί ο τύπος του όγκου κυλίνδρου

Η ιδέα είναι απλή: όγκος ίσον εμβαδό βάσης επί ύψος. Ένας κύλινδρος είναι πρίσμα με κυκλική βάση, άρα το εμβαδό της βάσης είναι $\pi r^2$. Έτσι προκύπτει

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

Αυτό εξηγεί και το μοτίβο των μεταβλητών. Η ακτίνα υψώνεται στο τετράγωνο επειδή ανήκει στον τύπο του εμβαδού του κύκλου, ενώ το ύψος πολλαπλασιάζεται μόνο μία φορά. Αν το ύψος διπλασιαστεί, ο όγκος διπλασιάζεται. Αν η ακτίνα διπλασιαστεί, ο όγκος γίνεται τετραπλάσιος, επειδή το εμβαδό της βάσης εξαρτάται από το $r^2$.

Λυμένο παράδειγμα: κύλινδρος με ακτίνα $4$ cm και ύψος $10$ cm

Ξεκίνα με τον τύπο:

$$V = \pi r^2 h$$

Αντικατάστησε $r = 4$ και $h = 10$:

$$V = \pi (4)^2(10)$$

Πρώτα ύψωσε στο τετράγωνο την ακτίνα και μετά πολλαπλασίασε:

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

Άρα ο ακριβής όγκος είναι $160\pi\ \text{cm}^3$.

Αν η άσκηση ζητά δεκαδική προσέγγιση, χρησιμοποίησε $\pi \approx 3.14159$:

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

Σε πολλά μαθήματα προτιμάται η ακριβής μορφή $160\pi\ \text{cm}^3$, εκτός αν οι οδηγίες ζητούν στρογγυλοποίηση.

Αν σου δίνεται η διάμετρος αντί για την ακτίνα

Υπόθεσε ότι ο ίδιος κύλινδρος περιγράφεται με διάμετρο $8$ cm και ύψος $10$ cm. Η ακτίνα είναι το μισό της διαμέτρου, άρα $r = 4$ cm. Τότε

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

Αυτό είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα λάθη σε ασκήσεις για το σπίτι και σε διαγωνίσματα. Ο τύπος χρησιμοποιεί την ακτίνα, όχι τη διάμετρο.

Συνηθισμένα λάθη στον όγκο κυλίνδρου

1. Χρησιμοποιείς τη διάμετρο απευθείας στο $V = \pi r^2 h$. Πρώτα μετέτρεψέ την σε ακτίνα.
2. Ξεχνάς να υψώσεις στο τετράγωνο την ακτίνα. Ο τύπος χρησιμοποιεί $r^2$, όχι $2r$.
3. Πολλαπλασιάζεις με την πλάγια πλευρά ενός λοξού σχήματος αντί με το κάθετο ύψος. Ο τύπος χρειάζεται το πραγματικό ύψος ανάμεσα στις βάσεις.
4. Γράφεις τετραγωνικές μονάδες αντί για κυβικές μονάδες. Ο όγκος πρέπει να δίνεται σε μονάδες όπως $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ ή $\text{in}^3$.
5. Στρογγυλοποιείς πολύ νωρίς, ενώ η άσκηση επιτρέπει ακριβή απάντηση ως προς το $\pi$.

Πότε να χρησιμοποιείς τον τύπο του όγκου κυλίνδρου

Χρησιμοποίησε τον τύπο του όγκου κυλίνδρου κάθε φορά που ένα αντικείμενο μπορεί να μοντελοποιηθεί ως κύλινδρος ή είναι κοντά σε αυτό το σχήμα. Συνηθισμένα παραδείγματα είναι κουτιά αναψυκτικού, σωλήνες, δεξαμενές, κεριά και κυκλικές κολόνες.

Αν το αντικείμενο είναι κοίλο, αυτός ο τύπος δίνει τον εξωτερικό όγκο, εκτός αν αφαιρέσεις το εσωτερικό κενό μέρος. Αν η ακτίνα αλλάζει κατά μήκος του ύψους, το σχήμα δεν είναι κύλινδρος, οπότε αυτός ο τύπος δεν εφαρμόζεται άμεσα.

Δοκίμασε μια παρόμοια άσκηση

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με ακτίνα $6$ cm και ύψος $3$ cm. Στήσε πρώτα τον υπολογισμό πριν κάνεις τις πράξεις:

$$V = \pi (6)^2(3)$$

Αν βρεις $108\pi\ \text{cm}^3$, το στήσιμό σου είναι σωστό. Αν θέλεις ένα καθαρό επόμενο βήμα, σύγκρινε αυτόν τον τύπο με το εμβαδό κύκλου ώστε να δεις ακριβώς από πού προέρχεται το μέρος $\pi r^2$.