ปริมาตรทรงกลม — สูตรและตัวอย่างโจทย์

ปริมาตรของทรงกลมคือพื้นที่ว่างภายในทรงกลม ถ้ารัศมีเป็น $r$ ให้ใช้สูตร

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

สูตรนี้ต้องใช้รัศมี ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง $d$ มา ให้แปลงก่อนเป็น

$$r = \frac{d}{2}$$

ขั้นตอนสั้น ๆ นี้ช่วยป้องกันความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในการหาปริมาตรทรงกลม

คำตอบจะเขียนเป็นหน่วยลูกบาศก์ เช่น $\text{cm}^3$ หรือ $\text{m}^3$ เพราะปริมาตรเป็นการวัดพื้นที่ว่างสามมิติ

ทำไมสูตรจึงใช้ $r^3$

พจน์ $r^3$ แสดงให้เห็นว่าปริมาตรขึ้นอยู่กับขนาดสามมิติ ไม่ใช่แค่ความยาวหรือพื้นที่เท่านั้น นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมปริมาตรจึงเปลี่ยนแปลงเร็วเมื่อรัศมีเปลี่ยน

ตัวอย่างเช่น ถ้ารัศมีเพิ่มเป็นสองเท่าจาก $r$ เป็น $2r$ จะได้ว่า

$$V_{\text{new}} = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$$

ดังนั้นเมื่อรัศมีเพิ่มเป็นสองเท่า ปริมาตรจะมากขึ้น $8$ เท่า นี่เป็นวิธีตรวจคำตอบที่ดีเมื่อคำตอบดูเล็กเกินไป

ตัวอย่างโจทย์: หาปริมาตรจากเส้นผ่านศูนย์กลาง

สมมติว่าทรงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลาง $10$ ซม. จงหาปริมาตร

ขั้นแรก แปลงเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นรัศมี:

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

จากนั้นแทนค่า $r = 5$ ลงในสูตร:

$$V = \frac{4}{3}\pi (5^3)$$

เนื่องจาก $5^3 = 125$,

$$V = \frac{4}{3}\pi (125) = \frac{500}{3}\pi$$

ดังนั้นปริมาตรที่แน่นอนคือ

$$\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3$$

ถ้าโจทย์ต้องการค่าประมาณเป็นทศนิยม

$$V \approx 523.6\ \text{cm}^3$$

ตัวอย่างนี้มีประโยชน์มาก เพราะหลายโจทย์มักให้เส้นผ่านศูนย์กลางมาแทนที่จะให้รัศมี

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาปริมาตรทรงกลม

1. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมีโดยตรง
2. ยกกำลังสองของรัศมีแทนที่จะยกกำลังสาม
3. สับสนระหว่างปริมาตรกับพื้นที่ผิว โดยพื้นที่ผิวของทรงกลมคือ $4\pi r^2$ ซึ่งเป็นคนละสูตร
4. ลืมใส่หน่วยลูกบาศก์ในคำตอบสุดท้าย

ถ้าโจทย์ถามหาค่าที่แน่นอน ให้คงคำตอบไว้ในรูปของ $\pi$ ถ้าโจทย์ถามหาค่าประมาณ ให้ปัดเศษในขั้นตอนสุดท้าย เว้นแต่ครูของคุณจะกำหนดไว้เป็นอย่างอื่น

สูตรปริมาตรทรงกลมใช้เมื่อใด

ปริมาตรของทรงกลมพบได้ในโจทย์เรขาคณิต การวัด และวิทยาศาสตร์ เมื่อวัตถุสามารถประมาณให้เป็นทรงกลมได้อย่างสมเหตุสมผล ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ ลูกบอล ฟองอากาศ หยดของเหลว และถังบางชนิด

เงื่อนไขนี้สำคัญ ถ้าวัตถุเป็นทรงกลมเพียงโดยประมาณ ผลลัพธ์ที่ได้ก็เป็นเพียงค่าประมาณเช่นกัน

ตรวจเร็ว ๆ ก่อนทำข้อต่อไป

ถ้ารัศมีใหญ่ขึ้น ปริมาตรควรเพิ่มขึ้นเร็วกว่ารัศมีมาก ตัวอย่างเช่น ถ้ารัศมีเพิ่มเป็นสามเท่า ปริมาตรจะคูณด้วย $3^3 = 27$ ถ้าคำตอบสุดท้ายของคุณไม่สะท้อนการเพิ่มขึ้นแบบนี้ ให้กลับไปตรวจการตั้งโจทย์อีกครั้ง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้ทรงกลมที่มีรัศมี $4$ ม. หาปริมาตรแบบค่าที่แน่นอนก่อน แล้วจึงหาค่าประมาณเป็นทศนิยม หลังจากนั้นเปลี่ยนเฉพาะรัศมีเป็น $8$ ม. แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์ทั้งสองค่า เพื่อดูว่าพจน์ $r^3$ ส่งผลต่อปริมาตรมากเพียงใด