พื้นที่ผิวทรงกระบอก — สูตรและตัวอย่าง

พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก คือพื้นที่ของฐานวงกลมสองด้านรวมกับผิวโค้งด้านข้าง สำหรับทรงกระบอกกลมตรงแบบปิดที่มีรัศมี $r$ และความสูง $h$ สูตรคือ

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

ใช้สูตรนี้เมื่อทรงกระบอกเป็นแบบปิด ถ้าโจทย์ถามเฉพาะผิวโค้งด้านข้าง ให้ใช้ $2\pi rh$ ถ้าด้านบนหรือด้านล่างหายไป ให้ลบพื้นที่ของวงกลมที่หายไปออก

อธิบายสูตรพื้นที่ผิวทรงกระบอก

สูตรนี้มีสองส่วน เพราะรูปทรงนี้มีผิวอยู่สองแบบ

ด้านบนและด้านล่างเป็นวงกลม แต่ละวงมีพื้นที่ $\pi r^2$ ดังนั้นรวมกันได้

$$2\pi r^2$$

ด้านข้างเป็นผิวโค้ง แต่เราสามารถนึกภาพให้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่พันรอบทรงกระบอกได้ ความสูงของมันคือ $h$ และความกว้างคือเส้นรอบวงของฐาน ซึ่งเท่ากับ $2\pi r$ จึงได้พื้นที่ผิวด้านข้างเป็น

$$(2\pi r)(h) = 2\pi rh$$

นำพื้นที่ของวงกลมทั้งสองกับด้านข้างมาบวกกัน:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

แนวคิดสำคัญที่ควรจำคือ วงกลมสองวง บวกกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่พันรอบหนึ่งแผ่น

ตัวอย่างโจทย์: รัศมี $3$ ซม. สูง $8$ ซม.

สมมติว่าทรงกระบอกแบบปิดมีรัศมี $3$ ซม. และสูง $8$ ซม.

เขียนสูตรก่อน:

$$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

แทนค่า $r = 3$ และ $h = 8$:

$$A = 2\pi(3^2) + 2\pi(3)(8)$$

คำนวณทั้งสองส่วน:

$$A = 2\pi(9) + 48\pi = 18\pi + 48\pi$$ $$A = 66\pi$$

ดังนั้นพื้นที่ผิวที่แน่นอนคือ $66\pi\ \text{cm}^2$

ถ้าต้องการค่าประมาณเป็นทศนิยม ใช้ $\pi \approx 3.1416$:

$$66\pi \approx 207.3\ \text{cm}^2$$

คำตอบอยู่ในหน่วยตารางเซนติเมตร เพราะพื้นที่ผิววัดการปกคลุมด้านนอก ไม่ใช่ปริมาตรภายใน

การตรวจเร็วหนึ่งอย่างที่ช่วยจับข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ถ้าคุณคำนวณเฉพาะด้านข้าง

$$2\pi rh = 2\pi(3)(8) = 48\pi$$

แสดงว่าคุณหาพื้นที่ผิวด้านข้างได้เท่านั้น ไม่ใช่พื้นที่ผิวทั้งหมด

สำหรับทรงกระบอกแบบปิด พื้นที่ผิวทั้งหมดต้องมากกว่านี้ เพราะยังรวมฐานวงกลมสองด้านด้วย การเปรียบเทียบแบบเร็วนี้ช่วยให้จับความผิดพลาดในการตั้งโจทย์ได้ก่อนทำจนจบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาพื้นที่ผิวทรงกระบอก

1. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมี ถ้า $d = 6$ จะได้ $r = 3$ ไม่ใช่ $6$
2. ใช้เพียง $2\pi rh$ ทั้งที่โจทย์ถามพื้นที่ผิวทั้งหมด
3. เขียนหน่วยเป็นกำลังสาม ทั้งที่พื้นที่ผิวต้องใช้หน่วยกำลังสอง เช่น $\text{cm}^2$ หรือ $\text{m}^2$
4. ลืมว่าสูตรจะเปลี่ยนไป ถ้าทรงกระบอกเปิดด้านบนหรือด้านล่าง
5. สับสนระหว่างพื้นที่ผิวกับปริมาตร พื้นที่ผิววัดด้านนอก ส่วนปริมาตรวัดเนื้อที่ภายใน

ควรใช้สูตรพื้นที่ผิวเมื่อใด

ใช้สูตรนี้เมื่อคุณต้องการหาพื้นที่ด้านนอกของวัตถุทรงกระบอกแบบปิด ตัวอย่างที่พบบ่อยคือ ปริมาณโลหะที่ใช้ทำกระป๋อง พื้นที่ฉลากรอบภาชนะ หรือพื้นที่ที่ต้องทาสีบนชิ้นส่วนทรงกระบอก

เงื่อนไขของรูปทรงมีความสำคัญ ถ้าต้องการเฉพาะพื้นที่ด้านข้าง ให้ใช้ $2\pi rh$ ถ้าฐานหายไปหนึ่งด้าน ให้ลบ $\pi r^2$ ถ้าหายไปทั้งสองด้าน คำตอบจะเหลือเพียงพื้นที่ผิวด้านข้าง และถ้ารูปทรงไม่ใช่ทรงกระบอกกลมตรง สูตรนี้จะเป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองทำโจทย์ของคุณเองโดยใช้รัศมี $5$ ซม. และความสูง $12$ ซม. เริ่มจากหาพื้นที่ด้านข้างก่อน แล้วจึงบวกพื้นที่ของฐานวงกลมทั้งสองด้าน ถ้าต้องการฝึกต่อ ให้ลองทำโจทย์ที่คล้ายกันอีกข้อ แล้วเปรียบเทียบการตั้งสมการของคุณก่อนจัดรูป