Volumen eines Zylinders — Formel & Beispiele

Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, multipliziert man die Fläche der kreisförmigen Grundfläche mit der Höhe. Für einen geraden Kreiszylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$ gilt:

$$V = \pi r^2 h$$

Dabei ist $r$ der Radius der Grundfläche und $h$ die senkrechte Höhe zwischen den beiden Kreisflächen. Wenn in einer Aufgabe stattdessen der Durchmesser $d$ gegeben ist, rechne zuerst mit $r = \frac{d}{2}$ um.

Warum die Formel für das Zylindervolumen funktioniert

Die Idee ist einfach: Volumen gleich Grundfläche mal Höhe. Ein Zylinder ist ein Prisma mit kreisförmiger Grundfläche, also ist die Grundfläche $\pi r^2$. Daraus folgt:

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

Das erklärt auch das Muster der Variablen. Der Radius wird quadriert, weil er zur Kreisflächenformel gehört, während die Höhe nur einmal multipliziert wird. Wenn sich die Höhe verdoppelt, verdoppelt sich das Volumen. Wenn sich der Radius verdoppelt, wird das Volumen viermal so groß, weil die Grundfläche von $r^2$ abhängt.

Gerechnetes Beispiel: ein Zylinder mit Radius $4$ cm und Höhe $10$ cm

Beginne mit der Formel:

$$V = \pi r^2 h$$

Setze $r = 4$ und $h = 10$ ein:

$$V = \pi (4)^2(10)$$

Quadriere zuerst den Radius und multipliziere dann:

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

Das exakte Volumen ist also $160\pi\ \text{cm}^3$.

Wenn in der Aufgabe ein Dezimalwert verlangt wird, verwende $\pi \approx 3.14159$:

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

In vielen Klassen wird die exakte Form $160\pi\ \text{cm}^3$ bevorzugt, sofern in der Aufgabe nicht ausdrücklich gerundet werden soll.

Wenn statt des Radius der Durchmesser gegeben ist

Angenommen, derselbe Zylinder wird mit Durchmesser $8$ cm und Höhe $10$ cm beschrieben. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, also ist $r = 4$ cm. Dann gilt:

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

Das ist einer der häufigsten Fehler in Hausaufgaben und Tests. In der Formel wird der Radius verwendet, nicht der Durchmesser.

Häufige Fehler beim Zylindervolumen

1. Den Durchmesser direkt in $V = \pi r^2 h$ einsetzen. Rechne ihn zuerst in den Radius um.
2. Vergessen, den Radius zu quadrieren. Die Formel verwendet $r^2$, nicht $2r$.
3. Mit der schrägen Seite einer schiefen Zeichnung multiplizieren statt mit der senkrechten Höhe. Die Formel braucht die tatsächliche Höhe zwischen den Grundflächen.
4. Flächeneinheiten statt Volumeneinheiten angeben. Das Volumen sollte in Einheiten wie $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ oder $\text{in}^3$ stehen.
5. Zu früh runden, obwohl die Aufgabe eine exakte Antwort mit $\pi$ erlaubt.

Wann man die Formel für das Zylindervolumen verwendet

Verwende die Formel für das Zylindervolumen immer dann, wenn ein Objekt als Zylinder oder annähernd als Zylinder modelliert werden kann. Häufige Beispiele sind Dosen, Rohre, Tanks, Kerzen und runde Säulen.

Wenn das Objekt hohl ist, liefert diese Formel das äußere Volumen, sofern du den leeren inneren Teil nicht abziehst. Wenn sich der Radius entlang der Höhe ändert, ist die Form kein Zylinder, daher ist diese Formel dann nicht direkt anwendbar.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche deine eigene Variante mit Radius $6$ cm und Höhe $3$ cm. Stelle den Term zuerst auf, bevor du rechnest:

$$V = \pi (6)^2(3)$$

Wenn du $108\pi\ \text{cm}^3$ erhältst, ist dein Ansatz korrekt. Wenn du einen klaren nächsten Schritt möchtest, vergleiche diese Formel mit der Kreisfläche, damit du genau siehst, woher der Teil $\pi r^2$ kommt.