Silindirin Hacmi — Formül ve Örnekler

Bir silindirin hacmini bulmak için dairesel tabanın alanını yükseklikle çarpın. Yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan dik dairesel silindir için,

$$V = \pi r^2 h$$

Burada $r$, tabanın yarıçapı; $h$ ise iki dairesel yüz arasındaki dik yüksekliktir. Soruda bunun yerine çap $d$ verilirse, önce $r = \frac{d}{2}$ ile dönüştürün.

Silindirin hacim formülü neden işe yarar?

Fikir basittir: hacim = taban alanı × yükseklik. Silindir, dairesel tabanlı bir prizmadır; bu yüzden taban alanı $\pi r^2$ olur. Böylece

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

Bu aynı zamanda değişkenlerdeki düzeni de açıklar. Yarıçapın karesi alınır çünkü dairenin alan formülünden gelir; yükseklik ise yalnızca bir kez çarpılır. Yükseklik iki katına çıkarsa hacim de iki katına çıkar. Yarıçap iki katına çıkarsa, taban alanı $r^2$'ye bağlı olduğu için hacim dört katına çıkar.

Çözümlü örnek: yarıçapı $4$ cm, yüksekliği $10$ cm olan bir silindir

Formülle başlayın:

$$V = \pi r^2 h$$

$r = 4$ ve $h = 10$ değerlerini yerine yazın:

$$V = \pi (4)^2(10)$$

Önce yarıçapın karesini alın, sonra çarpın:

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

Buna göre tam hacim $160\pi\ \text{cm}^3$ olur.

Soru ondalıklı yaklaşık değer istiyorsa, $\pi \approx 3.14159$ kullanın:

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

Birçok derste, yönergede yuvarlama istenmedikçe $160\pi\ \text{cm}^3$ tam biçimi tercih edilir.

Yarıçap yerine çap verilirse

Aynı silindirin çapı $8$ cm ve yüksekliği $10$ cm olarak verildiğini düşünün. Yarıçap, çapın yarısıdır; yani $r = 4$ cm. O hâlde

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

Bu, ödevlerde ve sınavlarda en sık yapılan hatalardan biridir. Formülde çap değil, yarıçap kullanılır.

Silindirin hacminde sık yapılan hatalar

1. $V = \pi r^2 h$ içinde çapı doğrudan kullanmak. Önce yarıçapa çevirin.
2. Yarıçapın karesini almayı unutmak. Formülde $2r$ değil, $r^2$ vardır.
3. Eğik çizilmiş bir şekilde dik yükseklik yerine eğik kenarla çarpmak. Formülde tabanlar arasındaki gerçek yükseklik gerekir.
4. Küp birimler yerine kare birimler yazmak. Hacim $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ veya $\text{in}^3$ gibi birimlerle ifade edilmelidir.
5. Soru $\pi$ cinsinden tam cevap vermeye izin veriyorsa çok erken yuvarlamak.

Silindirin hacim formülü ne zaman kullanılır?

Bir cisim silindir olarak ya da silindire yakın bir biçimde modellenebiliyorsa silindirin hacim formülünü kullanın. Yaygın örnekler arasında kutular, borular, tanklar, mumlar ve dairesel sütunlar bulunur.

Cisim içi boşsa, içteki boş kısmı çıkarmadığınız sürece bu formül dış hacmi verir. Yarıçap yükseklik boyunca değişiyorsa şekil silindir değildir; bu yüzden bu formül doğrudan uygulanmaz.

Benzer bir soru deneyin

Yarıçapı $6$ cm ve yüksekliği $3$ cm olan kendi örneğinizi deneyin. Hesaplamadan önce kurulumu yazın:

$$V = \pi (6)^2(3)$$

$108\pi\ \text{cm}^3$ buluyorsanız kurulumunuz doğrudur. Bir sonraki adımı netleştirmek isterseniz, $\pi r^2$ kısmının tam olarak nereden geldiğini görmek için bu formülü dairenin alanıyla karşılaştırın.