Volume d’un cylindre — formule et exemples

Pour trouver le volume d’un cylindre, multipliez l’aire de la base circulaire par la hauteur. Pour un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$,

$$V = \pi r^2 h$$

Ici, $r$ est le rayon de la base et $h$ est la hauteur perpendiculaire entre les deux faces circulaires. Si l’énoncé donne plutôt le diamètre $d$, convertissez d’abord avec $r = \frac{d}{2}$.

Pourquoi la formule du volume d’un cylindre fonctionne

L’idée est simple : le volume est égal à l’aire de la base multipliée par la hauteur. Un cylindre est un prisme à base circulaire, donc l’aire de la base est $\pi r^2$. On obtient alors

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

Cela explique aussi le rôle des variables dans la formule. Le rayon est au carré parce qu’il vient de la formule de l’aire du cercle, tandis que la hauteur n’est multipliée qu’une seule fois. Si la hauteur double, le volume double. Si le rayon double, le volume devient quatre fois plus grand, car l’aire de la base dépend de $r^2$.

Exemple résolu : un cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $10$ cm

Commencez par la formule :

$$V = \pi r^2 h$$

Remplacez $r = 4$ et $h = 10$ :

$$V = \pi (4)^2(10)$$

Élevez d’abord le rayon au carré, puis multipliez :

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

Donc le volume exact est $160\pi\ \text{cm}^3$.

Si l’exercice demande une valeur décimale approchée, utilisez $\pi \approx 3.14159$ :

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

Dans beaucoup de cours, la forme exacte $160\pi\ \text{cm}^3$ est préférable, sauf si la consigne demande d’arrondir.

Si on vous donne le diamètre au lieu du rayon

Supposons que le même cylindre soit décrit avec un diamètre de $8$ cm et une hauteur de $10$ cm. Le rayon vaut la moitié du diamètre, donc $r = 4$ cm. Alors

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

C’est l’une des erreurs les plus fréquentes dans les devoirs et les contrôles. La formule utilise le rayon, pas le diamètre.

Erreurs fréquentes avec le volume d’un cylindre

1. Utiliser directement le diamètre dans $V = \pi r^2 h$. Il faut d’abord le convertir en rayon.
2. Oublier de mettre le rayon au carré. La formule utilise $r^2$, pas $2r$.
3. Multiplier par le côté incliné d’un dessin en perspective au lieu de la hauteur perpendiculaire. La formule nécessite la vraie hauteur entre les bases.
4. Écrire des unités carrées au lieu d’unités cubes. Un volume doit s’exprimer en unités comme $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ ou $\text{in}^3$.
5. Arrondir trop tôt alors que l’exercice permet une réponse exacte en fonction de $\pi$.

Quand utiliser la formule du volume d’un cylindre

Utilisez la formule du volume d’un cylindre chaque fois qu’un objet peut être modélisé par un cylindre, ou par une forme proche. Parmi les exemples courants, on trouve les canettes, les tuyaux, les réservoirs, les bougies et les colonnes circulaires.

Si l’objet est creux, cette formule donne le volume extérieur, sauf si vous soustrayez la partie intérieure vide. Si le rayon change selon la hauteur, la forme n’est pas un cylindre, donc cette formule ne s’applique pas directement.

Essayez un exercice similaire

Essayez votre propre version avec un rayon de $6$ cm et une hauteur de $3$ cm. Écrivez d’abord l’expression avant de calculer :

$$V = \pi (6)^2(3)$$

Si vous obtenez $108\pi\ \text{cm}^3$, votre mise en place est correcte. Si vous voulez aller un peu plus loin, comparez cette formule avec l’aire d’un cercle pour voir exactement d’où vient la partie $\pi r^2$.