สูตรปริมาตรของรูปทรงสามมิติที่พบบ่อย

ต่อไปนี้คือสูตรปริมาตรหลักของรูปทรงสามมิติที่พบบ่อย: ปริซึมและทรงกระบอกใช้พื้นที่ฐานคูณความสูง พีระมิดและกรวยใช้เพียงหนึ่งในสามของรูปแบบนั้น ส่วนทรงกลมใช้สูตรที่อิงกับรัศมี เมื่อมองเห็นโครงสร้างนี้แล้ว สูตรต่าง ๆ จะเข้าใจและจำได้ง่ายขึ้น

สูตรปริมาตรของรูปทรงสามมิติที่พบบ่อย

รูปทรง	สูตรปริมาตร	สิ่งที่ควรรู้
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก	$V = lwh$	ความยาว ความกว้าง และความสูง
ลูกบาศก์	$V = s^3$	ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
ปริซึมใด ๆ	$V = Bh$	$B$ คือพื้นที่ฐาน
ทรงกระบอก	$V = \pi r^2 h$	เหมือนกับ $Bh$ เพราะฐานเป็นวงกลม
พีระมิดใด ๆ	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	เป็นหนึ่งในสามของปริซึมที่มีฐานและความสูงเท่ากัน
กรวย	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	เป็นหนึ่งในสามของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน
ทรงกลม	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	ใช้รัศมี ไม่ได้ใช้ความสูง

สำหรับพีระมิดและกรวย $h$ หมายถึงความสูงตั้งฉาก ถ้าโจทย์ให้ความสูงเอียงมาแทน ค่านั้นจะไม่สามารถนำไปแทนในสูตรปริมาตรได้โดยตรง

ทำไมสูตรปริมาตรส่วนใหญ่จึงเป็นรูปแบบเดียวกัน

แนวคิดที่ง่ายที่สุดคือ:

$$V = Bh$$

ในที่นี้ $B$ หมายถึงพื้นที่ฐาน และ $h$ คือความสูงที่วัดตั้งฉากขึ้นจากฐานนั้น

รูปแบบเดียวนี้อธิบายได้หลายสูตรพร้อมกัน ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น $B = lw$ และสูตรจึงเป็น $V = lwh$ ส่วนทรงกระบอกมีฐานเป็นวงกลม ดังนั้น $B = \pi r^2$ และสูตรจึงเป็น $V = \pi r^2 h$

พีระมิดและกรวยใช้แนวคิดเรื่องฐานและความสูงเหมือนกัน แต่มีปริมาตรเพียงหนึ่งในสามของปริซึมหรือทรงกระบอกที่สอดคล้องกัน:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

ทรงกลมเป็นรูปทรงพื้นฐานที่พบบ่อยซึ่งไม่เข้ากับรูปแบบพื้นที่ฐานคูณความสูง จึงควรจำสูตรของมันแยกต่างหาก

ตัวอย่างโจทย์: หาปริมาตรของกรวย

จงหาปริมาตรของกรวยที่มีรัศมี $3$ ซม. และความสูง $8$ ซม.

ใช้สูตรของกรวย:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

แทนค่า:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

จัดรูปให้ง่าย:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

ดังนั้นปริมาตรคือ $24\pi\ \text{cm}^3$ หรือประมาณ $75.4\ \text{cm}^3$

ตัวอย่างนี้มีประโยชน์เพราะถ้าเป็นทรงกระบอกที่มีรัศมีและความสูงเท่ากัน จะมีปริมาตร $72\pi\ \text{cm}^3$ กรวยจึงมีปริมาตรเท่ากับหนึ่งในสามพอดี ซึ่งเป็นวิธีตรวจคำตอบในตัวที่ดี

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสูตรปริมาตร

1. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางทั้งที่สูตรต้องการรัศมี ถ้าโจทย์ให้ $d$ มา ให้แปลงก่อนด้วย $r = \frac{d}{2}$
2. ใช้ความสูงเอียงของกรวยหรือพีระมิด ปริมาตรต้องใช้ความสูงตั้งฉาก
3. สับสนระหว่างพื้นที่ผิวกับปริมาตร ปริมาตรตอบว่าภายในมีเนื้อที่เท่าไร ไม่ใช่พื้นที่ผิวด้านนอก
4. ลืมใส่หน่วยลูกบาศก์ ปริมาตรควรเขียนเป็นหน่วยเช่น $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$, หรือ $\text{in}^3$
5. มองว่า $B$ เป็นความยาวด้านแทนที่จะเป็นพื้นที่ฐาน ใน $V = Bh$, $B$ เป็นพื้นที่อยู่แล้ว

ควรใช้สูตรปริมาตรเมื่อไร

สูตรปริมาตรใช้เมื่อคุณต้องการหาความจุหรือขนาดภายในของวัตถุสามมิติ ในห้องเรียน มักหมายถึงโจทย์เรขาคณิต นอกห้องเรียน แนวคิดเดียวกันนี้ใช้เมื่อประมาณว่ากล่องจุของได้มากแค่ไหน ถังบรรจุของเหลวได้เท่าไร หรือภาชนะหนึ่งใส่วัสดุได้มากเพียงใด

เงื่อนไขของโจทย์ก็สำคัญเช่นกัน เพราะสูตรจะแม่นยำได้เท่ากับแบบจำลองของรูปทรงเท่านั้น ถ้าวัตถุจริงมีลักษณะใกล้เคียงทรงกระบอกหรือทรงกลมเพียงประมาณหนึ่ง คำตอบที่ได้ก็เป็นเพียงค่าประมาณเช่นกัน

ลองทำด้วยตัวเอง

เลือกรูปทรงกระบอกที่มีรัศมี $4$ หน่วย และความสูง $10$ หน่วย แล้วหาปริมาตร หลังจากนั้นให้ใช้ฐานและความสูงเดิม แต่เปลี่ยนเป็นกรวย การเห็นคำตอบสองค่านี้วางเทียบกันเป็นหนึ่งในวิธีที่เร็วที่สุดในการทำให้จำสูตรได้แม่น