Volume del cilindro — formula ed esempi

Per trovare il volume di un cilindro, moltiplica l’area della base circolare per l’altezza. Per un cilindro circolare retto con raggio $r$ e altezza $h$,

$$V = \pi r^2 h$$

Qui, $r$ è il raggio della base e $h$ è l’altezza perpendicolare tra le due facce circolari. Se invece il problema fornisce il diametro $d$, prima converti usando $r = \frac{d}{2}$.

Perché la formula del volume del cilindro funziona

L’idea è semplice: il volume è uguale all’area di base per l’altezza. Un cilindro è un prisma con base circolare, quindi l’area di base è $\pi r^2$. Da qui si ottiene

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

Questo spiega anche lo schema delle variabili. Il raggio è al quadrato perché appartiene alla formula dell’area del cerchio, mentre l’altezza viene moltiplicata una sola volta. Se l’altezza raddoppia, il volume raddoppia. Se il raggio raddoppia, il volume diventa quattro volte più grande perché l’area di base dipende da $r^2$.

Esempio svolto: un cilindro con raggio $4$ cm e altezza $10$ cm

Parti dalla formula:

$$V = \pi r^2 h$$

Sostituisci $r = 4$ e $h = 10$:

$$V = \pi (4)^2(10)$$

Eleva prima al quadrato il raggio, poi moltiplica:

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

Quindi il volume esatto è $160\pi\ \text{cm}^3$.

Se il problema chiede un’approssimazione decimale, usa $\pi \approx 3.14159$:

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

In molte classi, la forma esatta $160\pi\ \text{cm}^3$ è preferita, a meno che le istruzioni non chiedano di arrotondare.

Se ti viene dato il diametro invece del raggio

Supponi che lo stesso cilindro sia descritto con diametro $8$ cm e altezza $10$ cm. Il raggio è la metà del diametro, quindi $r = 4$ cm. Allora

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

Questo è uno degli errori più comuni nei compiti e nelle verifiche. La formula usa il raggio, non il diametro.

Errori comuni nel volume del cilindro

1. Usare direttamente il diametro in $V = \pi r^2 h$. Prima convertilo in raggio.
2. Dimenticare di elevare al quadrato il raggio. La formula usa $r^2$, non $2r$.
3. Moltiplicare per il lato inclinato di un disegno obliquo invece che per l’altezza perpendicolare. La formula richiede l’altezza reale tra le basi.
4. Scrivere unità quadrate invece di unità cubiche. Il volume deve essere espresso in unità come $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ o $\text{in}^3$.
5. Arrotondare troppo presto quando il problema consente una risposta esatta in termini di $\pi$.

Quando usare la formula del volume del cilindro

Usa la formula del volume del cilindro ogni volta che un oggetto può essere modellato come un cilindro o qualcosa di molto simile. Esempi comuni sono lattine, tubi, serbatoi, candele e colonne circolari.

Se l’oggetto è cavo, questa formula dà il volume esterno a meno che tu non sottragga la parte interna vuota. Se il raggio cambia lungo l’altezza, la figura non è un cilindro, quindi questa formula non si applica direttamente.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con raggio $6$ cm e altezza $3$ cm. Imposta il calcolo prima di eseguire i conti:

$$V = \pi (6)^2(3)$$

Se ottieni $108\pi\ \text{cm}^3$, l’impostazione è corretta. Se vuoi fare un passo successivo chiaro, confronta questa formula con l’area del cerchio così puoi vedere esattamente da dove viene la parte $\pi r^2$.