Thể tích hình trụ — Công thức & Ví dụ

Để tính thể tích hình trụ, lấy diện tích đáy hình tròn nhân với chiều cao. Với hình trụ tròn đứng có bán kính $r$ và chiều cao $h$,

$$V = \pi r^2 h$$

Ở đây, $r$ là bán kính của đáy và $h$ là chiều cao vuông góc giữa hai mặt tròn. Nếu đề bài cho đường kính $d$ thay vì bán kính, hãy đổi trước bằng $r = \frac{d}{2}$.

Vì sao công thức thể tích hình trụ đúng

Ý tưởng rất đơn giản: thể tích bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Hình trụ là một lăng trụ có đáy là hình tròn, nên diện tích đáy là $\pi r^2$. Từ đó ta có

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

Điều này cũng giải thích quy luật của các biến trong công thức. Bán kính được bình phương vì nó xuất hiện trong công thức diện tích hình tròn, còn chiều cao chỉ được nhân một lần. Nếu chiều cao tăng gấp đôi thì thể tích cũng tăng gấp đôi. Nếu bán kính tăng gấp đôi thì thể tích tăng gấp bốn lần vì diện tích đáy phụ thuộc vào $r^2$.

Ví dụ giải chi tiết: hình trụ có bán kính $4$ cm và chiều cao $10$ cm

Bắt đầu với công thức:

$$V = \pi r^2 h$$

Thay $r = 4$ và $h = 10$:

$$V = \pi (4)^2(10)$$

Bình phương bán kính trước, rồi nhân:

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

Vậy thể tích chính xác là $160\pi\ \text{cm}^3$.

Nếu đề bài yêu cầu giá trị gần đúng thập phân, dùng $\pi \approx 3.14159$:

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

Trong nhiều lớp học, dạng chính xác $160\pi\ \text{cm}^3$ thường được ưu tiên trừ khi đề bài yêu cầu làm tròn.

Nếu đề bài cho đường kính thay vì bán kính

Giả sử cùng hình trụ đó được mô tả với đường kính $8$ cm và chiều cao $10$ cm. Bán kính bằng một nửa đường kính, nên $r = 4$ cm. Khi đó

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

Đây là một trong những lỗi phổ biến nhất trong bài tập về nhà và bài kiểm tra. Công thức dùng bán kính, không dùng đường kính.

Những lỗi thường gặp khi tính thể tích hình trụ

1. Dùng trực tiếp đường kính trong $V = \pi r^2 h$. Hãy đổi sang bán kính trước.
2. Quên bình phương bán kính. Công thức dùng $r^2$, không phải $2r$.
3. Nhân với cạnh nghiêng trong hình vẽ xiên thay vì chiều cao vuông góc. Công thức cần chiều cao thật sự giữa hai đáy.
4. Viết đơn vị vuông thay vì đơn vị khối. Thể tích phải có đơn vị như $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$, hoặc $\text{in}^3$.
5. Làm tròn quá sớm khi bài toán cho phép để đáp án chính xác theo $\pi$.

Khi nào dùng công thức thể tích hình trụ

Dùng công thức thể tích hình trụ bất cứ khi nào một vật thể có thể được mô hình hóa như hình trụ hoặc gần giống hình trụ. Những ví dụ quen thuộc gồm lon, ống, bồn chứa, nến và cột tròn.

Nếu vật thể rỗng, công thức này cho thể tích bên ngoài trừ khi bạn trừ đi phần rỗng bên trong. Nếu bán kính thay đổi theo chiều cao thì hình đó không còn là hình trụ, nên công thức này không áp dụng trực tiếp.

Thử một bài tương tự

Hãy thử với trường hợp bán kính $6$ cm và chiều cao $3$ cm. Lập biểu thức trước khi tính:

$$V = \pi (6)^2(3)$$

Nếu bạn được $108\pi\ \text{cm}^3$, thì cách thiết lập của bạn là đúng. Nếu muốn thêm một bước rõ ràng tiếp theo, hãy so sánh công thức này với diện tích hình tròn để thấy chính xác phần $\pi r^2$ xuất phát từ đâu.