Objętość walca — wzór i przykłady

Aby obliczyć objętość walca, pomnóż pole kołowej podstawy przez wysokość. Dla walca prostego o promieniu $r$ i wysokości $h$ mamy

$$V = \pi r^2 h$$

Tutaj $r$ to promień podstawy, a $h$ to wysokość prostopadła między dwiema kołowymi podstawami. Jeśli w zadaniu podano zamiast tego średnicę $d$, najpierw przelicz ją ze wzoru $r = \frac{d}{2}$.

Dlaczego wzór na objętość walca działa

Pomysł jest prosty: objętość to pole podstawy razy wysokość. Walec jest graniastosłupem o podstawie koła, więc pole podstawy wynosi $\pi r^2$. Otrzymujemy więc

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

To wyjaśnia też układ zmiennych we wzorze. Promień jest podnoszony do kwadratu, ponieważ pochodzi ze wzoru na pole koła, a wysokość występuje tylko raz jako czynnik. Jeśli wysokość się podwoi, objętość też się podwoi. Jeśli promień się podwoi, objętość będzie cztery razy większa, ponieważ pole podstawy zależy od $r^2$.

Przykład: walec o promieniu $4$ cm i wysokości $10$ cm

Zacznij od wzoru:

$$V = \pi r^2 h$$

Podstaw $r = 4$ i $h = 10$:

$$V = \pi (4)^2(10)$$

Najpierw podnieś promień do kwadratu, a potem pomnóż:

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

Zatem dokładna objętość wynosi $160\pi\ \text{cm}^3$.

Jeśli w zadaniu trzeba podać przybliżenie dziesiętne, użyj $\pi \approx 3.14159$:

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

Na wielu lekcjach preferowana jest postać dokładna $160\pi\ \text{cm}^3$, chyba że w poleceniu wyraźnie poproszono o zaokrąglenie.

Jeśli podano średnicę zamiast promienia

Załóżmy, że ten sam walec opisano jako mający średnicę $8$ cm i wysokość $10$ cm. Promień jest równy połowie średnicy, więc $r = 4$ cm. Wtedy

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

To jeden z najczęstszych błędów w pracach domowych i na sprawdzianach. We wzorze używa się promienia, a nie średnicy.

Najczęstsze błędy przy obliczaniu objętości walca

1. Podstawianie średnicy bezpośrednio do wzoru $V = \pi r^2 h$. Najpierw zamień ją na promień.
2. Zapominanie o podniesieniu promienia do kwadratu. We wzorze jest $r^2$, a nie $2r$.
3. Mnożenie przez nachylony bok z ukośnego rysunku zamiast przez wysokość prostopadłą. Wzór wymaga rzeczywistej wysokości między podstawami.
4. Zapisywanie jednostek kwadratowych zamiast sześciennych. Objętość powinna być podana w jednostkach takich jak $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ lub $\text{in}^3$.
5. Zaokrąglanie zbyt wcześnie, gdy zadanie dopuszcza odpowiedź dokładną z $\pi$.

Kiedy używać wzoru na objętość walca

Używaj wzoru na objętość walca zawsze wtedy, gdy obiekt można modelować jako walec lub bryłę do niego zbliżoną. Typowe przykłady to puszki, rury, zbiorniki, świece i okrągłe kolumny.

Jeśli obiekt jest pusty w środku, ten wzór daje objętość zewnętrzną, chyba że odejmiesz pustą część wewnętrzną. Jeśli promień zmienia się wraz z wysokością, bryła nie jest walcem, więc tego wzoru nie da się zastosować bezpośrednio.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie dla promienia $6$ cm i wysokości $3$ cm. Zapisz najpierw podstawienie przed obliczeniami:

$$V = \pi (6)^2(3)$$

Jeśli otrzymasz $108\pi\ \text{cm}^3$, to znaczy, że podstawienie jest poprawne. Jeśli chcesz zrobić jeszcze jeden sensowny krok dalej, porównaj ten wzór ze wzorem na pole koła, aby dokładnie zobaczyć, skąd bierze się część $\pi r^2$.