Volumen de un cilindro — fórmula y ejemplos

Para hallar el volumen de un cilindro, multiplica el área de la base circular por la altura. Para un cilindro circular recto con radio $r$ y altura $h$,

$$V = \pi r^2 h$$

Aquí, $r$ es el radio de la base y $h$ es la altura perpendicular entre las dos caras circulares. Si en un problema te dan el diámetro $d$ en su lugar, primero conviértelo con $r = \frac{d}{2}$.

Por qué funciona la fórmula del volumen de un cilindro

La idea es simple: el volumen es igual al área de la base por la altura. Un cilindro es un prisma con base circular, así que el área de la base es $\pi r^2$. Eso da

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

Eso también explica el patrón de las variables. El radio está al cuadrado porque pertenece a la fórmula del área del círculo, mientras que la altura se multiplica solo una vez. Si la altura se duplica, el volumen se duplica. Si el radio se duplica, el volumen se vuelve cuatro veces mayor porque el área de la base depende de $r^2$.

Ejemplo resuelto: un cilindro con radio $4$ cm y altura $10$ cm

Empieza con la fórmula:

$$V = \pi r^2 h$$

Sustituye $r = 4$ y $h = 10$:

$$V = \pi (4)^2(10)$$

Eleva primero el radio al cuadrado y luego multiplica:

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

Así que el volumen exacto es $160\pi\ \text{cm}^3$.

Si el problema pide una aproximación decimal, usa $\pi \approx 3.14159$:

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

En muchas clases, se prefiere la forma exacta $160\pi\ \text{cm}^3$ a menos que las instrucciones te pidan redondear.

Si te dan el diámetro en lugar del radio

Supón que el mismo cilindro se describe con diámetro $8$ cm y altura $10$ cm. El radio es la mitad del diámetro, así que $r = 4$ cm. Entonces

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

Este es uno de los errores más comunes en tareas y exámenes. La fórmula usa el radio, no el diámetro.

Errores comunes con el volumen de un cilindro

1. Usar el diámetro directamente en $V = \pi r^2 h$. Primero conviértelo a radio.
2. Olvidar elevar el radio al cuadrado. La fórmula usa $r^2$, no $2r$.
3. Multiplicar por el lado inclinado de un dibujo oblicuo en lugar de la altura perpendicular. La fórmula necesita la altura real entre las bases.
4. Escribir unidades cuadradas en lugar de unidades cúbicas. El volumen debe estar en unidades como $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ o $\text{in}^3$.
5. Redondear demasiado pronto cuando el problema permite una respuesta exacta en términos de $\pi$.

Cuándo usar la fórmula del volumen de un cilindro

Usa la fórmula del volumen de un cilindro siempre que un objeto pueda modelarse como un cilindro o algo muy parecido. Algunos ejemplos comunes son latas, tuberías, tanques, velas y columnas circulares.

Si el objeto es hueco, esta fórmula da el volumen exterior a menos que restes la parte interior vacía. Si el radio cambia a lo largo de la altura, la figura no es un cilindro, así que esta fórmula no se aplica directamente.

Intenta un problema similar

Prueba tu propia versión con radio $6$ cm y altura $3$ cm. Plantea la expresión antes de calcular:

$$V = \pi (6)^2(3)$$

Si obtienes $108\pi\ \text{cm}^3$, tu planteamiento es correcto. Si quieres un siguiente paso claro, compara esta fórmula con el área de un círculo para ver exactamente de dónde sale la parte $\pi r^2$.