ปริมาตรทรงกรวย — สูตร การพิสูจน์ และตัวอย่าง

ปริมาตรของทรงกรวยคือปริมาณเนื้อที่ภายในรูปทรงนั้น สำหรับทรงกรวยที่มีรัศมีฐาน $r$ และความสูงตั้งฉาก $h$ ให้ใช้สูตร

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

พื้นที่ฐานคือ $\pi r^2$ ดังนั้นสูตรนี้จึงหมายความว่า

$$\text{ปริมาตรทรงกรวย} = \frac{1}{3}(\text{พื้นที่ฐาน})(\text{ความสูง})$$

ถ้าฐานเป็นวงกลม ก็จะได้เป็น $\frac{1}{3}\pi r^2 h$

สูตรนี้หมายความว่าอย่างไร

พจน์ $\pi r^2$ คือพื้นที่ของฐานวงกลม ถ้านำไปคูณกับ $h$ จะได้ปริมาตรของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน

ทรงกรวยเรียวแหลมกว่าจึงบรรจุได้น้อยกว่าทรงกระบอกนั้น ที่จริงแล้ว ถ้ามีพื้นที่ฐานและความสูงเท่ากัน ทรงกรวยจะมีปริมาตรเท่ากับหนึ่งในสามพอดี

จึงทำให้เข้าใจสูตรได้อย่างรวดเร็วว่า

$$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}V_{\text{cylinder}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

ทำไมจึงมีหนึ่งส่วนสาม

การพิสูจน์มาตรฐานแบบหนึ่งใช้ภาคตัดขวาง วัดความสูง $x$ ขึ้นไปจากปลายยอดของทรงกรวย ที่ระดับนั้น รัศมีจะเปลี่ยนแปลงเป็นสัดส่วนเชิงเส้น ดังนั้น

$$\text{รัศมีที่ความสูง } x = \frac{r}{h}x$$

พื้นที่ภาคตัดขวางที่ระดับนั้นคือ

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

รวมแผ่นวงกลมบาง ๆ เหล่านั้นตั้งแต่ $x = 0$ ถึง $x = h$:

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

ถ้าคุณยังไม่ได้เรียนแคลคูลัส ข้อสรุปที่นำไปใช้ได้จริงก็ยังง่ายเหมือนเดิม: ทรงกรวยที่มีฐานและความสูงเท่ากับทรงกระบอก จะมีปริมาตรเป็นหนึ่งในสามของทรงกระบอก

ตัวอย่างทำทีละขั้น

สมมติว่าทรงกรวยมีรัศมี $3$ ซม. และความสูง $8$ ซม.

เริ่มจากสูตร

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

แทนค่า $r = 3$ และ $h = 8$:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

ยกกำลังสองรัศมีและจัดรูป

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

ดังนั้นปริมาตรที่เป็นค่าที่แน่นอนคือ

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

ถ้าต้องการค่าประมาณเป็นทศนิยม

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมี ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น $6$ ซม. รัศมีคือ $3$ ซม.
2. ใช้ความยาวเอียงแทนความสูงตั้งฉาก สูตรปริมาตรต้องใช้ความสูงตรงจากฐานถึงยอด
3. ลืมตัวประกอบหนึ่งส่วนสาม $\pi r^2 h$ เป็นสูตรของทรงกระบอก ไม่ใช่ทรงกรวย
4. ลืมยกกำลังสองรัศมี สูตรใช้ $r^2$ ไม่ใช่ $r$
5. ลืมใส่หน่วยลูกบาศก์ ปริมาตรควรเขียนเป็นหน่วย เช่น $\text{cm}^3$ หรือ $\text{m}^3$

สูตรนี้ใช้เมื่อใด

สูตรนี้ใช้ในเรขาคณิต การประมาณทางวิศวกรรม บรรจุภัณฑ์ และโจทย์ใด ๆ ที่สามารถจำลองรูปทรงเป็นทรงกรวยหรือใกล้เคียงทรงกรวยได้ ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ กรวยกรอกวัสดุ กองวัสดุ และถังทรงกรวย

ถ้าวัตถุมีลักษณะเป็นทรงกรวยเพียงโดยประมาณ คำตอบที่ได้ก็จะเป็นค่าประมาณเช่นกัน ยิ่งรูปทรงใกล้เคียงทรงกรวยจริงมากเท่าไร ค่าประมาณก็ยิ่งมีประโยชน์มากขึ้นเท่านั้น

วิธีเช็กเร็ว ๆ เพื่อจับข้อผิดพลาด

ถ้าทรงกรวยและทรงกระบอกมีรัศมีฐานและความสูงเท่ากัน ปริมาตรของทรงกรวยควรน้อยกว่าด้วยตัวประกอบ $3$

ดังนั้นถ้าคำตอบของทรงกรวยออกมาเท่ากับ $\pi r^2 h$ เป็นไปได้มากว่าคุณลืม $\frac{1}{3}$

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองทำโจทย์ของคุณเองโดยใช้รัศมี $5$ และความสูง $12$ ก่อนคำนวณ ลองคาดเดาก่อนว่าคำตอบที่เป็นค่าที่แน่นอนควรมากหรือน้อยกว่าปริมาตรของทรงกระบอกที่มีมิติเท่ากัน ถ้าคุณต้องการเปรียบเทียบหลายกรณีอย่างรวดเร็ว ลองแก้โจทย์ลักษณะคล้ายกันด้วย GPAI Solver