円柱の体積 — 公式と例題

円柱の体積を求めるには、円形の底面の面積に高さをかけます。半径 $r$、高さ $h$ の直円柱では、

$$V = \pi r^2 h$$

ここで、$r$ は底面の半径、$h$ は2つの円形の面の間の垂直な高さです。問題で直径 $d$ が与えられている場合は、まず $r = \frac{d}{2}$ で半径に直します。

なぜ円柱の体積の公式が成り立つのか

考え方はシンプルで、体積は「底面積 × 高さ」です。円柱は底面が円の柱体なので、底面積は $\pi r^2$ です。したがって、

$$V = (\pi r^2)h = \pi r^2 h$$

これで、式の文字の関係も説明できます。半径が2乗されているのは、円の面積の公式に含まれているからです。一方、高さは1回だけかけます。高さが2倍になれば体積も2倍になります。半径が2倍になると、底面積が $r^2$ によって決まるため、体積は4倍になります。

計算例：半径 $4$ cm、高さ $10$ cm の円柱

まず公式を書きます。

$$V = \pi r^2 h$$

$r = 4$、$h = 10$ を代入すると、

$$V = \pi (4)^2(10)$$

先に半径を2乗してから、かけ算します。

$$V = \pi (16)(10) = 160\pi$$

したがって、正確な体積は $160\pi\ \text{cm}^3$ です。

問題で小数の近似値を求める場合は、$\pi \approx 3.14159$ を使います。

$$V \approx 502.7\ \text{cm}^3$$

多くの授業では、四捨五入の指示がない限り、$160\pi\ \text{cm}^3$ のような正確な形の答えが好まれます。

半径ではなく直径が与えられている場合

同じ円柱が、直径 $8$ cm、高さ $10$ cm と書かれているとします。半径は直径の半分なので、$r = 4$ cm です。すると、

$$V = \pi (4)^2(10) = 160\pi\ \text{cm}^3$$

これは宿題やテストで特によくあるミスの1つです。公式で使うのは直径ではなく、半径です。

円柱の体積でよくある間違い

1. $V = \pi r^2 h$ に直径をそのまま使ってしまう。先に半径に直しましょう。
2. 半径を2乗し忘れる。公式で使うのは $r^2$ であり、$2r$ ではありません。
3. 斜めに描かれた図の斜辺を使ってしまい、垂直な高さを使わない。公式に必要なのは底面間の実際の高さです。
4. 立方単位ではなく平方単位で書いてしまう。体積の単位は $\text{cm}^3$、$\text{m}^3$、$\text{in}^3$ などです。
5. $\pi$ を使った正確な答えでよいのに、途中で早く丸めすぎてしまう。

円柱の体積の公式を使う場面

物体を円柱、または円柱に近い形として考えられるときは、円柱の体積の公式を使います。よくある例として、缶、パイプ、タンク、ろうそく、円柱状の柱などがあります。

物体が中空なら、この公式で求まるのは内側の空洞を引く前の外側の体積です。高さに沿って半径が変わるなら、その形は円柱ではないので、この公式をそのまま使うことはできません。

似た問題に挑戦してみよう

半径 $6$ cm、高さ $3$ cm の場合でも自分でやってみましょう。計算する前に、まず式を立てます。

$$V = \pi (6)^2(3)$$

答えが $108\pi\ \text{cm}^3$ になれば、式の立て方は合っています。次に1つだけ確認するなら、円の面積の公式と比べて、$\pi r^2$ の部分がどこから来るのかを見てみましょう。