วงกลมหนึ่งหน่วยเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการมองว่า sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta และ tan⁡θ\tan \theta หมายถึงอะไร มันคือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี 11 โดยจุดที่ได้จากมุม θ\theta คือ

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

ดังนั้น cosine คือพิกัดแนวนอน และ sine คือพิกัดแนวตั้ง ส่วน tangent มาจากอัตราส่วนของทั้งสองค่าเมื่อ cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

บนวงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุมเป็นเรเดียนมีความหมายพิเศษ เพราะรัศมีเท่ากับ 11 ความยาวส่วนโค้งจาก 00 ถึง θ\theta จึงเท่ากับ θ\theta เรเดียนพอดี

สำรวจวงกลมหนึ่งหน่วย

เลื่อนมุมแล้วสังเกตว่าจุด พิกัด และค่าตรีโกณมิติเปลี่ยนไปพร้อมกันอย่างไร ลองเริ่มที่ 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ และ 330∘330^\circ เพื่อดูว่ามุมอ้างอิงเดียวกันสามารถให้รูปแบบเครื่องหมายได้ 4 แบบ

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

อ่านค่า Sine และ Cosine จากพิกัด

ทุกจุดบนวงกลมมีรูปเป็น (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta) นั่นหมายความว่าคุณไม่ต้องจำกฎแยกสำหรับ sine และ cosine แค่อ่านพิกัดแนวนอนและแนวตั้งของจุดนั้น

สิ่งนี้ยังช่วยให้เช็กเครื่องหมายได้อย่างรวดเร็ว จุดที่อยู่ครึ่งซ้ายจะมี cosine เป็นลบ และจุดที่อยู่ใต้แกน xx จะมี sine เป็นลบ

  • ควอดแรนต์ I: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 และ cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • ควอดแรนต์ II: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 และ cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • ควอดแรนต์ III: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 และ cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • ควอดแรนต์ IV: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 และ cos⁡θ>0\cos \theta > 0

Tangent ไม่มีนิยามเมื่อ cos⁡θ=0\cos \theta = 0 บนวงกลมหนึ่งหน่วย เหตุการณ์นี้เกิดที่จุดบนสุดและจุดล่างสุด คือ 90∘90^\circ และ 270∘270^\circ

ตัวอย่างทำโจทย์: 150∘150^\circ บนวงกลมหนึ่งหน่วย

150∘150^\circ อยู่ในควอดแรนต์ II ดังนั้น cosine ควรเป็นลบ และ sine ควรเป็นบวก มุมอ้างอิงของมันคือ 30∘30^\circ ซึ่งหมายความว่าขนาดของพิกัดจะตรงกับจุดที่ 30∘30^\circ

ที่ 30∘30^\circ จุดคือ

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

ควอดแรนต์ II เปลี่ยนเฉพาะเครื่องหมายของพิกัด xx ดังนั้นที่ 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

ดังนั้น

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

ใช้ตัวสำรวจเพื่อสลับดูระหว่าง 30∘30^\circ และ 150∘150^\circ ขนาดของพิกัดยังคงเดิม แต่ควอดแรนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมายของพิกัด xx

สิ่งที่ควรสังเกตในตัวสำรวจ

ใช้วิดเจ็ตเพื่อทดสอบรูปแบบบางอย่าง แทนการท่องจำข้อเท็จจริงแยกเป็นข้อ ๆ:

  1. มุมที่มีมุมอ้างอิงเดียวกันจะใช้ขนาดพิกัดชุดเดิม
  2. การบวก 360∘360^\circ จะกลับไปที่จุดเดิม ดังนั้น sine และ cosine จึงซ้ำทุกหนึ่งรอบเต็ม
  3. แกนต่าง ๆ เป็นกรณีขอบเขตที่พิกัดตัวหนึ่งจะกลายเป็น 00

ลองตรวจสอบแบบเดียวกัน

เลือกมุมหนึ่งมุมในแต่ละควอดแรนต์ แล้วทำนายเครื่องหมายของ sin⁡θ\sin \theta และ cos⁡θ\cos \theta ก่อนตรวจด้วยวิดเจ็ต จากนั้นเลือกมุมอ้างอิง เช่น 30∘30^\circ หรือ 45∘45^\circ แล้วดูว่าขนาดพิกัดชุดเดิมกลับมาปรากฏรอบวงกลมอย่างไร

ต้องการความช่วยเหลือในการแก้โจทย์?

อัปโหลดคำถามของคุณแล้วรับคำตอบแบบทีละขั้นตอนที่ผ่านการตรวจสอบในไม่กี่วินาที

เปิด GPAI Solver →