เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ: รายการหลัก แนวคิดการพิสูจน์ และตัวอย่าง

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือสูตรที่เกี่ยวข้องกับ $\sin$, $\cos$, $\tan$ และฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุกมุมที่ทั้งสองข้างของสมการนิยามอยู่ หากคุณกำลังมองหาเอกลักษณ์ตรีโกณมิติมาตรฐานที่ใช้ในพีชคณิต พรีแคลคูลัส และแคลคูลัสเบื้องต้น รายการหลักได้แก่ เอกลักษณ์ผกผัน เอกลักษณ์อัตราส่วน เอกลักษณ์พีทาโกรัส เอกลักษณ์คู่-คี่ เอกลักษณ์ฟังก์ชันร่วม เอกลักษณ์ผลบวกและผลต่างของมุม เอกลักษณ์มุมเท่า และเอกลักษณ์มุมครึ่ง

วิธีที่ทำให้จำได้เร็วที่สุดคือจัดกลุ่มตามจุดประสงค์ บางสูตรใช้เขียนฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งในรูปของอีกฟังก์ชันหนึ่ง บางสูตรเชื่อม $\sin \theta$ กับ $\cos \theta$ และบางสูตรเปลี่ยนมุมจาก $\theta$ เป็น $2\theta$ หรือ $\theta/2$

อะไรทำให้สมการเป็นเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ?

เอกลักษณ์คือสมการที่เป็นจริงสำหรับทุกมุมในโดเมนของมัน ตัวอย่างเช่น

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

เป็นเอกลักษณ์ เพราะเป็นจริงสำหรับทุกค่า $\theta$

ในทางตรงกันข้าม

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

ไม่ใช่เอกลักษณ์ เพราะเป็นจริงเฉพาะบางมุมเท่านั้น

เงื่อนไขของโดเมนมีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $\cos \theta \neq 0$

รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก

เอกลักษณ์ผกผัน

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

แต่ละสูตรต้องมีตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

เอกลักษณ์อัตราส่วน

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

สูตรเหล่านี้มักเป็นขั้นตอนแรกของโจทย์การย่อรูป เพราะช่วยเขียนทุกอย่างให้อยู่ในรูปของ $\sin$ และ $\cos$

เอกลักษณ์พีทาโกรัส

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

เอกลักษณ์แรกเป็นที่มาของอีกสองเอกลักษณ์

เอกลักษณ์คู่-คี่

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

รูปแบบเดียวกันนี้ขยายไปยังฟังก์ชันผกผันด้วย: $\csc$ และ $\cot$ เป็นฟังก์ชันคี่ ส่วน $\sec$ เป็นฟังก์ชันคู่

เอกลักษณ์ฟังก์ชันร่วม

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

เอกลักษณ์เหล่านี้มาจากมุมเติมเต็มกัน

เอกลักษณ์ผลบวกและผลต่างของมุม

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

สำหรับสูตรของแทนเจนต์ ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

เอกลักษณ์มุมเท่า

กำหนดให้ $\alpha = \beta = \theta$ ในสูตรผลบวกของมุม

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

สูตรของแทนเจนต์ยังต้องมีเงื่อนไขว่า $1 - \tan^2 \theta \neq 0$

เอกลักษณ์มุมครึ่ง

เอกลักษณ์เหล่านี้ได้มาจากการจัดรูปสูตรมุมเท่าใหม่

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

สำหรับมุมที่เขียนในรูป $\theta/2$ รูปที่มีรากที่สองคือ

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

เครื่องหมายขึ้นอยู่กับควอดแรนต์ของ $\theta/2$ ดังนั้นจึงตัด $\pm$ ทิ้งแบบไม่พิจารณาไม่ได้

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักมาจากไหน

วงกลมหนึ่งหน่วยให้เอกลักษณ์พีทาโกรัสตัวแรก

บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่มุม $\theta$ คือ $(\cos \theta, \sin \theta)$. เนื่องจากทุกจุดบนวงกลมนั้นเป็นไปตาม $x^2 + y^2 = 1$ เมื่อนำ $x = \cos \theta$ และ $y = \sin \theta$ ไปแทน จะได้

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

นี่คือเอกลักษณ์พีทาโกรัสพื้นฐาน

เอกลักษณ์พีทาโกรัสอื่น ๆ มาจากการหาร

ถ้า $\cos \theta \neq 0$ ให้หาร

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

ด้วย $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

ถ้า $\sin \theta \neq 0$ การหารด้วย $\sin^2 \theta$ จะได้

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

เอกลักษณ์มุมเท่ามาจากสูตรผลบวกของมุม

เริ่มจาก

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

แล้วกำหนดให้ $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

เอกลักษณ์มุมเท่าของโคไซน์และแทนเจนต์ได้มาด้วยวิธีเดียวกัน

ตัวอย่างทำโจทย์: ย่อรูปนิพจน์มุมเท่า

จงย่อรูป

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

สำหรับมุมที่นิพจน์เดิมนิยามอยู่

ใช้เอกลักษณ์มุมเท่า:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

และ

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

จากนั้นแทนค่า:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

ข้อสรุปนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ ตัวส่วนเดิมไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นต้องมี $\sin(2\theta) \neq 0$ เงื่อนไขนี้สำคัญ เพราะการตัดตัวประกอบอาจซ่อนค่าที่ถูกตัดออกไปตั้งแต่ต้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

การละเลยข้อจำกัดของโดเมนเป็นข้อผิดพลาดที่ทำให้เกิดปัญหามากที่สุด การหารด้วย $\sin \theta$ หรือ $\cos \theta$ จะทำได้ก็ต่อเมื่อค่านั้นไม่เป็นศูนย์

อีกข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือการตัด $\pm$ ออกจากสูตรมุมครึ่ง รากที่สองเพียงอย่างเดียวไม่ได้บอกเครื่องหมายของค่าตรีโกณมิติ

นักเรียนยังมักสับสนระหว่าง $\sin^2 \theta$ กับ $\sin(\theta^2)$ สัญลักษณ์ $\sin^2 \theta$ หมายถึง $(\sin \theta)^2$

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติใช้เมื่อไร

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติปรากฏขึ้นทุกครั้งที่คุณต้องเขียนนิพจน์ใหม่ให้อยู่ในรูปที่ใช้งานได้สะดวกกว่า ซึ่งรวมถึงการย่อรูปโจทย์การบ้าน การพิสูจน์ว่าสองนิพจน์เท่ากัน การแก้สมการตรีโกณมิติ และการเตรียมพร้อมสำหรับหัวข้อแคลคูลัส เช่น การอินทิเกรต

ในทางปฏิบัติ หลายโจทย์จะง่ายขึ้นมากเมื่อเขียนทุกอย่างให้อยู่ในรูปของ $\sin \theta$ และ $\cos \theta$

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

จงย่อรูป

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

โดยใช้เอกลักษณ์มุมเท่า และอย่าลืมพิจารณาเงื่อนไขโดเมนของนิพจน์เดิมไว้ด้วย หากต้องการก้าวต่อไปอีกขั้น ให้เปรียบเทียบคำตอบของคุณกับ $\tan \theta$