Lingkaran satuan adalah cara tercepat untuk melihat arti sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta, dan tan⁡θ\tan \theta. Ini adalah lingkaran yang berpusat di titik asal dengan jari-jari 11, dan titik yang dicapai oleh sudut θ\theta adalah

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

Jadi cosinus adalah koordinat horizontal dan sinus adalah koordinat vertikal. Tangen berasal dari perbandingan keduanya saat cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Pada lingkaran satuan, ukuran radian memiliki makna khusus: karena jari-jarinya 11, panjang busur dari 00 ke θ\theta tepat sama dengan θ\theta radian.

Jelajahi Lingkaran Satuan

Geser sudutnya dan perhatikan bagaimana titik, koordinat, dan nilai trigonometri berubah bersama. Mulailah dengan 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ, dan 330∘330^\circ untuk melihat bagaimana satu sudut acuan dapat menghasilkan empat pola tanda yang berbeda.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Baca Nilai Sinus dan Cosinus dari Koordinat

Setiap titik pada lingkaran berbentuk (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). Artinya, Anda tidak memerlukan aturan terpisah untuk sinus dan cosinus: cukup baca koordinat horizontal dan vertikal dari titik tersebut.

Ini juga memberi cara cepat untuk memeriksa tanda. Titik di setengah kiri memiliki cosinus negatif, dan titik di bawah sumbu xx memiliki sinus negatif.

  • Kuadran I: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 dan cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • Kuadran II: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 dan cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Kuadran III: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 dan cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Kuadran IV: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 dan cos⁡θ>0\cos \theta > 0

Tangen tidak terdefinisi saat cos⁡θ=0\cos \theta = 0. Pada lingkaran satuan, itu terjadi di titik atas dan bawah: 90∘90^\circ dan 270∘270^\circ.

Contoh Dikerjakan: 150∘150^\circ pada Lingkaran Satuan

150∘150^\circ berada di Kuadran II, jadi cosinus harus bernilai negatif dan sinus harus bernilai positif. Sudut acuannya adalah 30∘30^\circ, yang berarti besar koordinatnya sama dengan titik pada 30∘30^\circ.

Pada 30∘30^\circ, titiknya adalah

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Kuadran II hanya mengubah tanda koordinat xx, jadi pada 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Lalu

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Gunakan explorer untuk berpindah antara 30∘30^\circ dan 150∘150^\circ. Besar koordinatnya tetap sama, tetapi kuadrannya membalik tanda koordinat xx.

Hal yang Perlu Diperhatikan di Explorer

Gunakan widget ini untuk menguji beberapa pola, bukan menghafal fakta-fakta yang terpisah:

  1. Sudut-sudut dengan sudut acuan yang sama menggunakan kembali besar koordinat yang sama.
  2. Menambahkan 360∘360^\circ membawa Anda ke titik yang sama, jadi sinus dan cosinus berulang setiap satu putaran penuh.
  3. Sumbu-sumbu adalah kasus batas saat salah satu koordinat menjadi 00.

Coba Pemeriksaan Serupa

Pilih satu sudut di setiap kuadran dan prediksi tanda dari sin⁡θ\sin \theta dan cos⁡θ\cos \theta sebelum memeriksa widget. Lalu pilih sudut acuan seperti 30∘30^\circ atau 45∘45^\circ dan lihat bagaimana besar koordinat yang sama muncul kembali di sekeliling lingkaran.

Butuh bantuan mengerjakan soal?

Unggah pertanyaanmu dan dapatkan solusi terverifikasi langkah demi langkah dalam hitungan detik.

Buka GPAI Solver →