ตรีโกณมิติ — คู่มือฉบับสมบูรณ์

ตรีโกณมิติเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงมุมกับความยาว หากคุณต้องหาด้านหรือมุมที่หายไปในสามเหลี่ยมมุมฉาก ตรีโกณมิติมักเป็นเครื่องมือที่ใช้แก้ปัญหา แนวคิดเดียวกันนี้ยังขยายไปสู่วงกลมหนึ่งหน่วย การหมุน และรูปแบบที่เกิดซ้ำ เช่น คลื่น

นักเรียนส่วนใหญ่มักเริ่มจากฟังก์ชันสามตัวคือ sine, cosine และ tangent สำหรับมุมแหลม $\theta$ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

ถ้า $\cos \theta \ne 0$ จะได้ว่า

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

แนวคิดสำคัญนั้นง่ายกว่าสูตร: สามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันจะมีอัตราส่วนของด้านเท่ากัน นั่นจึงเป็นเหตุผลที่ค่าตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของสามเหลี่ยม

ตรีโกณมิติหมายถึงอะไรในทางปฏิบัติ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ตรีโกณมิติช่วยให้คุณเชื่อมโยงมุมหนึ่งมุมกับความยาวของด้านสองด้าน เมื่อคุณเลือกมุมแล้ว ชื่อของด้านต่าง ๆ จะถูกกำหนดโดยอ้างอิงจากมุมนั้น

• ด้าน ตรงข้ามมุม คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม
• ด้าน ประชิดมุม คือด้านที่อยู่ติดกับมุม แต่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ด้าน ตรงข้ามมุมฉาก คือด้านที่ยาวที่สุด และอยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก

ถ้าคุณเปลี่ยนไปพิจารณาอีกมุมหนึ่งในสามเหลี่ยมเดียวกัน ด้านตรงข้ามมุมและด้านประชิดมุมก็อาจสลับกันได้ นี่เป็นสาเหตุของความผิดพลาดที่พบบ่อย

ทำไม Sine, Cosine และ Tangent จึงคงที่

ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีมุมแหลมเท่ากัน ทั้งสองรูปจะเป็นสามเหลี่ยมคล้ายกัน ความยาวด้านอาจต่างกัน แต่ด้านที่สมนัยกันจะเปลี่ยนตามตัวคูณเดียวกัน เพราะเหตุนี้ อัตราส่วนจึงคงเดิม

นั่นจึงเป็นเหตุผลที่ $\sin 30^\circ$ หรือ $\cos 60^\circ$ มีค่าแน่นอนเพียงค่าเดียว สามเหลี่ยมอาจใหญ่ขึ้นหรือเล็กลงได้ แต่อัตราส่วนจะไม่เปลี่ยนตราบใดที่มุมยังเท่าเดิม

ดูภาพรวมของ Sine, Cosine และ Tangent

อัตราส่วนแต่ละตัวเปรียบเทียบด้านคนละคู่กัน:

• $\sin \theta$ เปรียบเทียบด้านตรงข้ามมุมกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
• $\cos \theta$ เปรียบเทียบด้านประชิดมุมกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
• $\tan \theta$ เปรียบเทียบด้านตรงข้ามมุมกับด้านประชิดมุม

SOHCAHTOA ช่วยให้จำรูปแบบนี้ได้ แต่จะช่วยได้ก็ต่อเมื่อคุณระบุชื่อด้านได้ถูกต้องก่อน

ตัวอย่างทำโจทย์: หาความสูงของอาคาร

สมมติว่าคุณยืนห่างจากอาคาร $20$ เมตรบนพื้นราบ และมุมเงยไปยังยอดอาคารเป็น $35^\circ$ ถ้าไม่นับความสูงระดับสายตา อาคารสูงเท่าไร

นี่เป็นโจทย์สามเหลี่ยมมุมฉาก ระยะในแนวนอนคือด้านประชิดมุม และความสูงของอาคารคือด้านตรงข้ามมุม เนื่องจากเรารู้มุมและรู้ด้านประชิดมุม tangent จึงเหมาะที่สุด:

$$\tan 35^\circ = \frac{\text{height}}{20}$$

แก้สมการเพื่อหาความสูง:

$$\text{height} = 20 \tan 35^\circ$$

ใช้เครื่องคิดเลขในโหมดองศา จะได้ว่า

$$\text{height} \approx 20(0.7002) \approx 14.0$$

ดังนั้นอาคารจึงสูงประมาณ $14$ เมตรภายใต้เงื่อนไขนี้

รูปแบบทั่วไปนั้นง่ายมาก: ระบุด้านที่ทราบค่า ระบุมุม เลือกอัตราส่วนตรีโกณมิติที่เชื่อมทั้งสองอย่างเข้าด้วยกัน แล้วแก้สมการ

วงกลมหนึ่งหน่วยเกี่ยวข้องอย่างไร

สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเพียงจุดเริ่มต้น ไม่ใช่ทั้งหมดของเรื่อง หากต้องทำงานกับมุมที่มากกว่า $90^\circ$ มุมลบ หรือการหมุนครบหนึ่งรอบ ตรีโกณมิติจะขยายไปสู่วงกลมหนึ่งหน่วย

บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่มุม $\theta$ คือ

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

ดังนั้น cosine คือพิกัดแนวนอน และ sine คือพิกัดแนวตั้ง นี่จึงเป็นเหตุผลที่ฟังก์ชันเดียวกันนี้ยังใช้อธิบายการเคลื่อนที่แบบวงกลมและกราฟคาบได้ด้วย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในตรีโกณมิติ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือการระบุด้านตรงข้ามมุมและด้านประชิดมุมก่อนเลือกมุม ป้ายชื่อเหล่านี้เป็นสิ่งที่ขึ้นอยู่กับมุม ไม่ใช่ส่วนที่ตายตัวของสามเหลี่ยม

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือใช้อัตราส่วนที่ถูกต้องกับประเภทของสามเหลี่ยมที่ผิด นิยามอัตราส่วนด้านของ $\sin$, $\cos$ และ $\tan$ ใช้ได้โดยตรงกับสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก คุณมักต้องใช้เครื่องมืออย่างกฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์

โหมดของเครื่องคิดเลขก็ทำให้เกิดความผิดพลาดได้เช่นกัน ถ้าโจทย์ให้มุมมาเป็นองศา เครื่องคิดเลขของคุณต้องอยู่ในโหมดองศา ถ้าทำงานในหน่วยเรเดียน เครื่องคิดเลขก็ต้องตั้งให้ตรงกัน

นอกจากนี้ยังควรจำไว้ว่า $\tan \theta$ ไม่มีนิยามเมื่อ $\cos \theta = 0$ เพราะไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

ตรีโกณมิติถูกใช้เมื่อไร

ตรีโกณมิติปรากฏขึ้นทุกครั้งที่ทิศทาง การหมุน ความสูง ระยะทาง หรือการเปลี่ยนแปลงแบบเป็นคาบมีความสำคัญ ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ การสำรวจรังวัด การนำทาง วิศวกรรม ฟิสิกส์ คอมพิวเตอร์กราฟิก และการวิเคราะห์สัญญาณ

ในคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน คุณมักจะพบตรีโกณมิติใน 4 รูปแบบ: โจทย์สามเหลี่ยมมุมฉาก ค่าบนวงกลมหนึ่งหน่วย เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ และกราฟของ sine กับ cosine

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองใช้สถานการณ์เดียวกันแต่เปลี่ยนจากอาคารเป็นต้นไม้: ยืนห่างออกไป $15$ เมตร ใช้มุมเงย $40^\circ$ แล้วประมาณความสูง ถ้าคุณเลือกอัตราส่วนที่ถูกต้องได้ก่อนคำนวณ แสดงว่าคุณเข้าใจแนวคิดหลักได้ถูกต้องแล้ว