Birim çember, sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta ve tan⁡θ\tan \theta ifadelerinin ne anlama geldiğini görmenin en hızlı yoludur. Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 11 olan çemberdir; θ\theta açısıyla ulaşılan nokta ise

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

şeklindedir.

Buna göre kosinüs yatay koordinat, sinüs ise dikey koordinattır. Tanjant da cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0 olduğunda bu ikisinin oranından gelir:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Birim çember üzerinde radyan ölçüsünün özel bir anlamı vardır: yarıçap 11 olduğu için, 00 ile θ\theta arasındaki yay uzunluğu tam olarak θ\theta radyandır.

Birim Çemberi Keşfedin

Açıyı hareket ettirin ve noktanın, koordinatların ve trigonometrik değerlerin birlikte nasıl değiştiğini izleyin. Bir referans açının dört farklı işaret düzeni oluşturabildiğini görmek için 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ ve 330∘330^\circ ile başlayın.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Sinüs ve Kosinüsü Koordinatlardan Okuyun

Çember üzerindeki her nokta (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta) biçimindedir. Bu da sinüs ve kosinüs için ayrı bir kural ezberlemeniz gerekmediği anlamına gelir: noktanın yatay ve dikey koordinatlarını okuyun yeter.

Bu aynı zamanda işaretleri hızlıca kontrol etmeyi sağlar. Sol yarıdaki noktaların kosinüsü negatiftir ve xx-ekseninin altındaki noktaların sinüsü negatiftir.

  • I. Bölge: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 ve cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • II. Bölge: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • III. Bölge: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 ve cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • IV. Bölge: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 ve cos⁡θ>0\cos \theta > 0

cos⁡θ=0\cos \theta = 0 olduğunda tanjant tanımsızdır. Birim çember üzerinde bu durum üst ve alt noktalarda gerçekleşir: 90∘90^\circ ve 270∘270^\circ.

Çözümlü Örnek: Birim Çemberde 150∘150^\circ

150∘150^\circ, II. Bölgede yer alır; bu yüzden kosinüs negatif, sinüs pozitif olmalıdır. Referans açısı 30∘30^\circ olduğundan, koordinatların mutlak değerleri 30∘30^\circ noktasındakiyle aynıdır.

30∘30^\circ için nokta

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

olur.

II. Bölge yalnızca xx-koordinatının işaretini değiştirir, dolayısıyla 150∘150^\circ için:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Böylece

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

olur.

Gezgini kullanarak 30∘30^\circ ile 150∘150^\circ arasında geçiş yapın. Koordinatların mutlak değerleri aynı kalır, ancak bölge xx-koordinatının işaretini değiştirir.

Gezginde Neye Dikkat Etmelisiniz

Tek tek bilgileri ezberlemek yerine birkaç örüntüyü widget ile test edin:

  1. Aynı referans açıya sahip açılar, aynı koordinat mutlak değerlerini kullanır.
  2. 360∘360^\circ eklemek sizi aynı noktaya getirir; yani sinüs ve kosinüs her tam turda tekrar eder.
  3. Eksenler, koordinatlardan birinin 00 olduğu sınır durumlarıdır.

Benzer Bir Kontrol Deneyin

Her bölgeden bir açı seçin ve widget'ta kontrol etmeden önce sin⁡θ\sin \theta ve cos⁡θ\cos \theta işaretlerini tahmin edin. Ardından 30∘30^\circ veya 45∘45^\circ gibi bir referans açı seçin ve aynı koordinat mutlak değerlerinin çember boyunca nasıl yeniden ortaya çıktığını görün.

Bir soruyla yardıma mı ihtiyacın var?

Sorunuzu yükleyin ve saniyeler içinde doğrulanmış adım adım çözüm alın.

GPAI Solver Aç →