Ο μοναδιαίος κύκλος είναι ο πιο γρήγορος τρόπος να δεις τι σημαίνουν τα sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta και tan⁡θ\tan \theta. Είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 11, και το σημείο στο οποίο καταλήγει μια γωνία θ\theta είναι

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

Άρα το συνημίτονο είναι η οριζόντια συντεταγμένη και το ημίτονο η κατακόρυφη συντεταγμένη. Η εφαπτομένη προκύπτει από το πηλίκο τους όταν cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Στον μοναδιαίο κύκλο, το μέτρο σε ακτίνια έχει ιδιαίτερη σημασία: επειδή η ακτίνα είναι 11, το μήκος του τόξου από το 00 έως το θ\theta είναι ακριβώς θ\theta ακτίνια.

Εξερεύνησε Τον Μοναδιαίο Κύκλο

Μετακίνησε τη γωνία και παρατήρησε πώς αλλάζουν μαζί το σημείο, οι συντεταγμένες και οι τριγωνομετρικές τιμές. Ξεκίνα με 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ και 330∘330^\circ για να δεις πώς μία ίδια γωνία αναφοράς μπορεί να δώσει τέσσερα διαφορετικά μοτίβα προσήμων.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Διάβασε Το Ημίτονο Και Το Συνημίτονο Από Τις Συντεταγμένες

Κάθε σημείο πάνω στον κύκλο έχει τη μορφή (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). Αυτό σημαίνει ότι δεν χρειάζεσαι ξεχωριστό κανόνα για το ημίτονο και το συνημίτονο: απλώς διάβασε την οριζόντια και την κατακόρυφη συντεταγμένη του σημείου.

Αυτό δίνει και έναν γρήγορο έλεγχο προσήμου. Τα σημεία στο αριστερό ημικύκλιο έχουν αρνητικό συνημίτονο, και τα σημεία κάτω από τον άξονα xx έχουν αρνητικό ημίτονο.

  • Τεταρτημόριο I: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 και cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • Τεταρτημόριο II: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 και cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Τεταρτημόριο III: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 και cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Τεταρτημόριο IV: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 και cos⁡θ>0\cos \theta > 0

Η εφαπτομένη δεν ορίζεται όταν cos⁡θ=0\cos \theta = 0. Στον μοναδιαίο κύκλο, αυτό συμβαίνει στα πάνω και κάτω σημεία: 90∘90^\circ και 270∘270^\circ.

Λυμένο Παράδειγμα: 150∘150^\circ Στον Μοναδιαίο Κύκλο

Το 150∘150^\circ βρίσκεται στο Τεταρτημόριο II, άρα το συνημίτονο πρέπει να είναι αρνητικό και το ημίτονο θετικό. Η γωνία αναφοράς του είναι 30∘30^\circ, που σημαίνει ότι τα μέτρα των συντεταγμένων ταιριάζουν με εκείνα του σημείου στα 30∘30^\circ.

Στα 30∘30^\circ, το σημείο είναι

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Στο Τεταρτημόριο II αλλάζει μόνο το πρόσημο της συντεταγμένης xx, οπότε στα 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Τότε

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Χρησιμοποίησε το εργαλείο για να μεταπηδήσεις ανάμεσα στα 30∘30^\circ και 150∘150^\circ. Τα μέτρα των συντεταγμένων μένουν ίδια, αλλά το τεταρτημόριο αλλάζει το πρόσημο της συντεταγμένης xx.

Τι Να Προσέξεις Στο Εργαλείο

Χρησιμοποίησε το widget για να ελέγξεις μερικά μοτίβα αντί να απομνημονεύεις μεμονωμένα γεγονότα:

  1. Γωνίες με την ίδια γωνία αναφοράς χρησιμοποιούν ξανά τα ίδια μέτρα συντεταγμένων.
  2. Αν προσθέσεις 360∘360^\circ, καταλήγεις στο ίδιο σημείο, άρα το ημίτονο και το συνημίτονο επαναλαμβάνονται σε κάθε πλήρη περιστροφή.
  3. Οι άξονες είναι οριακές περιπτώσεις όπου μία συντεταγμένη γίνεται 00.

Δοκίμασε Έναν Παρόμοιο Έλεγχο

Διάλεξε μία γωνία σε κάθε τεταρτημόριο και πρόβλεψε τα πρόσημα των sin⁡θ\sin \theta και cos⁡θ\cos \theta πριν ελέγξεις το widget. Έπειτα διάλεξε μια γωνία αναφοράς όπως 30∘30^\circ ή 45∘45^\circ και δες πώς τα ίδια μέτρα συντεταγμένων επανεμφανίζονται γύρω από τον κύκλο.

Χρειάζεσαι βοήθεια με μια άσκηση;

Ανέβασε την ερώτησή σου και πάρε επαληθευμένη λύση βήμα-βήμα σε δευτερόλεπτα.

Άνοιξε το GPAI Solver →