単位円は、sin⁡θ\sin \theta、cos⁡θ\cos \theta、tan⁡θ\tan \theta の意味を最も手早く理解できる方法です。単位円とは、原点を中心とし半径が 11 の円で、角度 θ\theta に対応する点は

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

となります。つまり、余弦は水平方向の座標、正弦は垂直方向の座標です。正接は、cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0 のとき、その比から求まります。

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

単位円では、ラジアンには特別な意味があります。半径が 11 なので、00 から θ\theta までの弧の長さはちょうど θ\theta ラジアンになります。

単位円を見てみよう

角度を動かして、点・座標・三角比の値が一緒にどう変化するかを確認しましょう。まずは 30∘30^\circ、150∘150^\circ、210∘210^\circ、330∘330^\circ を試すと、同じ基準角から4通りの符号の組み合わせが生まれることがわかります。

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

座標から正弦と余弦を読む

円周上のどの点も (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta) の形をしています。つまり、正弦と余弦に別々のルールを覚える必要はなく、点の横座標と縦座標をそのまま読めばよいのです。

これを使うと、符号の確認もすぐにできます。左半分の点では余弦が負になり、xx 軸より下の点では正弦が負になります。

  • 第I象限: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 and cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • 第II象限: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 and cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • 第III象限: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 and cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • 第IV象限: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 and cos⁡θ>0\cos \theta > 0

cos⁡θ=0\cos \theta = 0 のとき、正接は定義されません。単位円では、それは最上点と最下点、つまり 90∘90^\circ と 270∘270^\circ で起こります。

例題: 単位円上の 150∘150^\circ

150∘150^\circ は第II象限にあるので、余弦は負、正弦は正になるはずです。基準角は 30∘30^\circ なので、座標の大きさは 30∘30^\circ の点と同じになります。

30∘30^\circ では、点は

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

です。第II象限では xx 座標の符号だけが変わるので、150∘150^\circ では

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

となります。

すると

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

となります。エクスプローラーで 30∘30^\circ と 150∘150^\circ を切り替えてみましょう。座標の大きさは同じままですが、象限によって xx 座標の符号が反転します。

エクスプローラーで注目したいこと

個別の事実を暗記するのではなく、ウィジェットを使っていくつかのパターンを確かめてみましょう。

  1. 同じ基準角をもつ角度では、座標の大きさが同じになります。
  2. 360∘360^\circ を足すと同じ点に戻るので、正弦と余弦は1回転ごとに繰り返します。
  3. 座標軸上は境界のケースで、どちらか一方の座標が 00 になります。

同じように確かめてみよう

各象限から1つずつ角度を選び、ウィジェットで確認する前に sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta の符号を予想してみましょう。次に、30∘30^\circ や 45∘45^\circ のような基準角を選び、同じ座標の大きさが円のまわりでどのように現れるかを見てみましょう。

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