Der Einheitskreis ist der schnellste Weg, um zu sehen, was sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta und tan⁡θ\tan \theta bedeuten. Er ist der Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 11, und der Punkt, der zu einem Winkel θ\theta gehört, ist

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

Das bedeutet: Der Kosinus ist die horizontale Koordinate und der Sinus die vertikale Koordinate. Der Tangens ergibt sich aus ihrem Verhältnis, wenn cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Im Einheitskreis hat das Bogenmaß eine besondere Bedeutung: Weil der Radius 11 ist, ist die Bogenlänge von 00 bis θ\theta genau θ\theta Radiant.

Den Einheitskreis erkunden

Bewege den Winkel und beobachte, wie sich der Punkt, die Koordinaten und die trigonometrischen Werte gemeinsam ändern. Starte mit 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ und 330∘330^\circ, um zu sehen, wie ein einziger Referenzwinkel vier verschiedene Vorzeichenmuster erzeugen kann.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Sinus und Kosinus aus den Koordinaten ablesen

Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Form (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). Das heißt, du brauchst keine separate Regel für Sinus und Kosinus: Lies einfach die horizontale und vertikale Koordinate des Punktes ab.

Das liefert auch eine schnelle Vorzeichenkontrolle. Punkte in der linken Halbebene haben einen negativen Kosinus, und Punkte unterhalb der xx-Achse haben einen negativen Sinus.

  • Quadrant I: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 und cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • Quadrant II: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 und cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Quadrant III: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 und cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Quadrant IV: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 und cos⁡θ>0\cos \theta > 0

Der Tangens ist nicht definiert, wenn cos⁡θ=0\cos \theta = 0. Im Einheitskreis passiert das am oberen und unteren Punkt: bei 90∘90^\circ und 270∘270^\circ.

Durchgerechnetes Beispiel: 150∘150^\circ im Einheitskreis

150∘150^\circ liegt im Quadranten II, also sollte der Kosinus negativ und der Sinus positiv sein. Sein Referenzwinkel ist 30∘30^\circ, das heißt, die Beträge der Koordinaten stimmen mit dem Punkt bei 30∘30^\circ überein.

Bei 30∘30^\circ ist der Punkt

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Im Quadranten II ändert sich nur das Vorzeichen der xx-Koordinate, also gilt bei 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Dann ist

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Nutze den Explorer, um zwischen 30∘30^\circ und 150∘150^\circ zu wechseln. Die Beträge der Koordinaten bleiben gleich, aber der Quadrant kippt das Vorzeichen der xx-Koordinate.

Worauf du im Explorer achten solltest

Nutze das Widget, um ein paar Muster zu testen, statt einzelne Fakten auswendig zu lernen:

  1. Winkel mit demselben Referenzwinkel haben dieselben Koordinatenbeträge.
  2. Wenn man 360∘360^\circ addiert, landet man wieder auf demselben Punkt, also wiederholen sich Sinus und Kosinus nach jeder vollen Umdrehung.
  3. Die Achsen sind Grenzfälle, bei denen eine Koordinate zu 00 wird.

Probiere eine ähnliche Kontrolle aus

Wähle in jedem Quadranten einen Winkel und sage die Vorzeichen von sin⁡θ\sin \theta und cos⁡θ\cos \theta voraus, bevor du im Widget nachsiehst. Wähle dann einen Referenzwinkel wie 30∘30^\circ oder 45∘45^\circ und beobachte, wie dieselben Koordinatenbeträge rund um den Kreis wieder auftauchen.

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