กราฟตรีโกณมิติ — Sin, Cos, Tan และการแปลงกราฟ

กราฟตรีโกณมิติแสดงให้เห็นว่า $\sin x$, $\cos x$ และ $\tan x$ เปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อ $x$ เปลี่ยนไป วิธีอ่านแบบเร็วมีหลักง่าย ๆ คือ sine และ cosine เป็นคลื่นที่ซ้ำเป็นคาบ ส่วน tangent จะซ้ำเป็นแขนงและมีเส้นกำกับแนวดิ่ง และการแปลงกราฟจะบอกความสูง ความกว้าง การเลื่อน และการสะท้อนของกราฟแม่

ถ้าคุณกำลังวาดกราฟจากสมการ ให้เริ่มจาก 4 คำถามนี้: ฟังก์ชันแม่คืออะไร? คาบเท่าไร? เส้นกึ่งกลางหรือเส้นศูนย์กลางอยู่ที่ไหน? กราฟถูกเลื่อนหรือสะท้อนหรือไม่?

กราฟ Sine, Cosine และ Tangent มีหน้าตาอย่างไร

กราฟ sine พื้นฐาน $y=\sin x$ ผ่านจุดกำเนิดและซ้ำทุก ๆ $2\pi$ เมื่อวัด $x$ เป็นเรเดียน กราฟ cosine พื้นฐาน $y=\cos x$ มีรูปร่างเป็นคลื่นเหมือนกันและมีคาบเท่ากัน แต่เริ่มที่ค่าสูงสุดเมื่อ $x=0$

กราฟ tangent พื้นฐาน $y=\tan x$ มีพฤติกรรมต่างออกไป มันซ้ำทุก ๆ $\pi$ ผ่านจุดกำเนิด และมีเส้นกำกับแนวดิ่งตรงตำแหน่งที่ $\cos x = 0$ เนื่องจาก tangent ไม่มีขอบเขตบนหรือล่าง จึงไม่มีแอมพลิจูด

ถ้าในชั้นเรียนของคุณวัดมุมเป็นองศาแทนเรเดียน คาบพื้นฐานจะเป็น $360^\circ$ สำหรับ sine และ cosine และ $180^\circ$ สำหรับ tangent

แอมพลิจูด คาบ และการเลื่อน เปลี่ยนกราฟอย่างไร

สำหรับ sine และ cosine รูปแบบที่ใช้บ่อยในการเขียนกราฟคือ

$$y = a\sin(b(x-h))+k$$

หรือ

$$y = a\cos(b(x-h))+k$$

ถ้า $x$ อยู่ในหน่วยเรเดียน จะได้ว่า

• แอมพลิจูด $= |a|$
• คาบ $= \frac{2\pi}{|b|}$
• การเลื่อนในแนวนอน $= h$
• การเลื่อนในแนวตั้ง $= k$
• เส้นกึ่งกลาง $= y=k$

ถ้า $a<0$ กราฟจะสะท้อนกับเส้นกึ่งกลางของมัน ถ้า $b<0$ กราฟจะสะท้อนในแนวนอน ในการสเก็ตช์กราฟในห้องเรียนหลายครั้ง งานหลักยังคงเป็นการหาคาบ การเลื่อน และจุดสำคัญให้ถูกต้อง

สำหรับ tangent รูปแบบที่ใช้ทั่วไปคือ

$$y = a\tan(b(x-h))+k$$

และถ้า $x$ อยู่ในหน่วยเรเดียน

• คาบ $= \frac{\pi}{|b|}$
• การเลื่อนในแนวนอน $= h$
• การเลื่อนในแนวตั้ง $= k$

ยังคงมีตัวคูณการยืดในแนวตั้งจาก $a$ แต่จะไม่เรียกว่าแอมพลิจูด เพราะ tangent ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

แอมพลิจูดและคาบหมายถึงอะไร

แอมพลิจูดบอกว่ากราฟ sine หรือ cosine เคลื่อนขึ้นเหนือและลงใต้เส้นกึ่งกลางได้ไกลแค่ไหน ถ้าแอมพลิจูดเป็น $3$ กราฟจะสูงขึ้นเหนือเส้นกึ่งกลาง $3$ หน่วย และต่ำลงใต้เส้นกึ่งกลาง $3$ หน่วย

คาบบอกว่ากราฟต้องใช้ระยะตามแกน $x$ เท่าไรจึงจะครบการซ้ำหนึ่งรอบเต็ม คาบที่เล็กลงหมายถึงกราฟถูกบีบในแนวนอน คาบที่ใหญ่ขึ้นหมายถึงกราฟถูกยืดออก

นี่คือรูปแบบหลักที่ควรจำ: $a$ และ $k$ ควบคุมพฤติกรรมในแนวตั้ง ส่วน $b$ และ $h$ ควบคุมพฤติกรรมในแนวนอน

ตัวอย่างทำจริง: วาดกราฟ $y=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$

เริ่มจากกราฟแม่ $y=\sin x$

จากนั้นอ่านการแปลงทีละตัว:

• $a=-2$ ดังนั้นแอมพลิจูดคือ $2$ และกราฟสะท้อนกับเส้นกึ่งกลาง
• $b=1$ ดังนั้นคาบยังคงเป็น $2\pi$
• $h=\frac{\pi}{3}$ ดังนั้นกราฟเลื่อนไปทางขวา $\frac{\pi}{3}$
• $k=1$ ดังนั้นเส้นกึ่งกลางคือ $y=1$

ดังนั้นกราฟจะแกว่งรอบเส้น $y=1$ มีค่าสูงสุดที่ $y=3$ มีค่าต่ำสุดที่ $y=-1$ และครบหนึ่งคาบในความกว้าง $2\pi$

ถ้าต้องการสเก็ตช์อย่างรวดเร็ว ให้ใช้ค่าอินพุตมาตรฐาน 5 จุดของ sine ในหนึ่งคาบแล้วแปลงตามสมการ จุดสำคัญจะเป็น

$$\left(\frac{\pi}{3},1\right), \left(\frac{5\pi}{6},-1\right), \left(\frac{4\pi}{3},1\right), \left(\frac{11\pi}{6},3\right), \left(\frac{7\pi}{3},1\right)$$

จุดเหล่านี้แสดงรูปร่างครบถ้วน: เริ่มที่เส้นกึ่งกลาง ลงก่อนเพราะมีการสะท้อน กลับสู่เส้นกึ่งกลาง ขึ้นไปถึงจุดสูงสุด แล้วกลับมาที่เส้นกึ่งกลางอีกครั้ง

นี่คือนิสัยที่ช่วยประหยัดเวลามากที่สุด: แปลงจากกราฟแม่แทนที่จะสร้างกราฟใหม่ทั้งหมดจากศูนย์

กราฟ Tangent ที่ถูกแปลงทำงานอย่างไร

Tangent ต้องใช้ภาพในใจที่ต่างออกไป เพราะกราฟสร้างขึ้นรอบเส้นกำกับแนวดิ่ง ไม่ใช่รอบยอดคลื่นและท้องคลื่น

สำหรับกราฟแม่ $y=\tan x$ เส้นกำกับแนวดิ่งอยู่ที่

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม และจุดตัดแกน $x$ อยู่ที่

$$x = n\pi$$

สำหรับกราฟที่แปลงแล้ว $y=a\tan(b(x-h))+k$ เส้นกำกับแนวดิ่งจะเกิดเมื่อ

$$b(x-h) = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

ดังนั้นระยะห่างระหว่างเส้นเหล่านี้คือ $\frac{\pi}{|b|}$ ในหน่วยเรเดียน ในกราฟ $y=\tan(2x)$ ระยะห่างนี้จะกลายเป็น $\frac{\pi}{2}$ ทำให้แขนงของกราฟซ้ำถี่ขึ้นเป็นสองเท่า ระยะห่างนี้สำคัญกว่าการพยายามคิดในแง่ของแอมพลิจูด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับกราฟตรีโกณมิติ

เรียกการยืดของ Tangent ว่า "แอมพลิจูด"

Sine และ cosine มีระยะสูงสุดและต่ำสุดจากเส้นกึ่งกลาง จึงใช้คำว่าแอมพลิจูดได้ แต่ tangent ไม่ได้ราบลงที่ค่าใดค่าหนึ่ง จึงไม่มีแอมพลิจูด

ใส่เครื่องหมายของการเลื่อนในแนวนอนผิด

ใน $y=\sin(x-2)$ กราฟเลื่อนไปทางขวา $2$ ไม่ใช่ทางซ้าย เครื่องหมายภายในวงเล็บมักทำให้รู้สึกสับสนในช่วงแรก

สับสนสูตรคาบ

ถ้ากราฟเขียนโดยมีตัวคูณ $b$ อยู่ภายในอินพุต คาบจะถูกหารด้วย $|b|$ สำหรับ sine และ cosine จึงเป็น $\frac{2\pi}{|b|}$ ในหน่วยเรเดียน สำหรับ tangent จะเป็น $\frac{\pi}{|b|}$

ลืมดูว่าแกนใช้เรเดียนหรือองศา

สูตรด้านบนใช้เรเดียน ถ้าวิชาหรือกราฟใช้หน่วยองศา ให้แทน $2\pi$ ด้วย $360^\circ$ และแทน $\pi$ ด้วย $180^\circ$

กราฟตรีโกณมิติถูกใช้เมื่อไร

กราฟตรีโกณมิติถูกใช้ทุกครั้งที่รูปแบบมีการซ้ำ ในคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน มันช่วยให้คุณเข้าใจการแปลงกราฟ พฤติกรรมแบบเป็นคาบ และความเชื่อมโยงระหว่างวงกลมหนึ่งหน่วยกับฟังก์ชัน นอกเหนือจากนั้น รูปร่างแบบเดียวกันนี้ยังปรากฏในคลื่น เสียง วัฏจักรตามฤดูกาล ระบบการหมุน และแบบจำลองสัญญาณ

คุณไม่จำเป็นต้องรู้บริบทเพิ่มเติมทั้งหมดนั้นเพื่ออ่านกราฟให้ถูกต้อง ในหลายวิชา งานที่สำคัญจริง ๆ คือการระบุรูปร่างแม่ หาตำแหน่งหนึ่งคาบหรือหนึ่งแขนง และติดตามการแปลงกราฟอย่างระมัดระวัง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

สเก็ตช์กราฟ $y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$ โดยเริ่มจากหาแอมพลิจูด คาบ การเลื่อน และเส้นกึ่งกลางก่อนลงจุดใด ๆ ถ้าคุณอธิบายกราฟเป็นคำพูดได้ก่อนวาด แปลว่าคุณเริ่มเข้าใจการแปลงกราฟแล้ว