Le cercle trigonométrique est la façon la plus rapide de voir ce que signifient sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta et tan⁡θ\tan \theta. C’est le cercle centré à l’origine et de rayon 11, et le point atteint par un angle θ\theta est

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

Donc le cosinus est la coordonnée horizontale et le sinus est la coordonnée verticale. La tangente vient de leur quotient lorsque cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0 :

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians a un sens particulier : comme le rayon vaut 11, la longueur d’arc entre 00 et θ\theta est exactement θ\theta radians.

Explorer le cercle trigonométrique

Déplacez l’angle et observez comment le point, les coordonnées et les valeurs trigonométriques changent ensemble. Commencez par 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ et 330∘330^\circ pour voir comment un même angle de référence peut produire quatre configurations de signes différentes.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Lire le sinus et le cosinus à partir des coordonnées

Chaque point du cercle est de la forme (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). Cela signifie que vous n’avez pas besoin d’une règle séparée pour le sinus et le cosinus : il suffit de lire les coordonnées horizontale et verticale du point.

Cela permet aussi de vérifier rapidement les signes. Les points de la moitié gauche ont un cosinus négatif, et les points situés sous l’axe des xx ont un sinus négatif.

  • Quadrant I : sin⁡θ>0\sin \theta > 0 et cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • Quadrant II : sin⁡θ>0\sin \theta > 0 et cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Quadrant III : sin⁡θ<0\sin \theta < 0 et cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Quadrant IV : sin⁡θ<0\sin \theta < 0 et cos⁡θ>0\cos \theta > 0

La tangente n’est pas définie lorsque cos⁡θ=0\cos \theta = 0. Sur le cercle trigonométrique, cela se produit aux points du haut et du bas : 90∘90^\circ et 270∘270^\circ.

Exemple détaillé : 150∘150^\circ sur le cercle trigonométrique

150∘150^\circ se trouve dans le quadrant II, donc le cosinus doit être négatif et le sinus doit être positif. Son angle de référence est 30∘30^\circ, ce qui signifie que les valeurs absolues des coordonnées correspondent à celles du point à 30∘30^\circ.

À 30∘30^\circ, le point est

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Dans le quadrant II, seul le signe de la coordonnée en xx change, donc à 150∘150^\circ :

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Puis

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Utilisez l’explorateur pour passer de 30∘30^\circ à 150∘150^\circ. Les valeurs absolues des coordonnées restent les mêmes, mais le quadrant change le signe de la coordonnée en xx.

Ce qu’il faut remarquer dans l’explorateur

Utilisez le widget pour tester quelques régularités au lieu de mémoriser des faits isolés :

  1. Les angles qui ont le même angle de référence réutilisent les mêmes valeurs absolues de coordonnées.
  2. Ajouter 360∘360^\circ ramène au même point, donc le sinus et le cosinus se répètent à chaque tour complet.
  3. Les axes sont des cas limites où l’une des coordonnées devient 00.

Essayez une vérification similaire

Choisissez un angle dans chaque quadrant et prédisez les signes de sin⁡θ\sin \theta et cos⁡θ\cos \theta avant de vérifier avec le widget. Ensuite, prenez un angle de référence comme 30∘30^\circ ou 45∘45^\circ et observez comment les mêmes valeurs absolues de coordonnées réapparaissent tout autour du cercle.

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