Sin Cos Tan คืออะไร — อธิบายเข้าใจง่าย

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ เป็นการเปรียบเทียบอัตราส่วนของความยาวด้านเมื่อเทียบกับมุมที่เราเลือกหนึ่งมุมในสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าคุณเข้าใจว่าด้านตรงข้าม ด้านประชิด และด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านไหน การใช้ทั้งสามอัตราส่วนนี้จะง่ายขึ้นมาก

ถ้า $\theta$ เป็นมุมแหลมในสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

นี่คือแนวคิดของ SOHCAHTOA ซึ่งเป็นคำช่วยจำที่มีประโยชน์ แต่ใจความสำคัญง่ายกว่านั้น คือแต่ละฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอัตราส่วนที่ผูกกับมุมหนึ่งมุม ไม่ใช่สมบัติของด้านใดด้านหนึ่งเพียงลำพัง

Sin Cos และ Tan หมายถึงอะไรในสามเหลี่ยมมุมฉาก

เลือกมุมแหลม $\theta$ มุมหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมฉาก

• ด้าน ตรงข้าม คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับ $\theta$
• ด้าน ประชิด คือด้านที่อยู่ติดกับ $\theta$ แต่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ด้าน ตรงข้ามมุมฉาก คือด้านที่ยาวที่สุด และอยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก

เมื่อกำหนดชื่อด้านเหล่านี้แล้ว อัตราส่วนตรีโกณมิติจะบอกการเปรียบเทียบที่ต่างกัน

• $\sin \theta$ เปรียบเทียบด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
• $\cos \theta$ เปรียบเทียบด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
• $\tan \theta$ เปรียบเทียบด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

ถ้าคุณเปลี่ยนไปใช้มุมแหลมอีกมุมหนึ่ง ด้านตรงข้ามและด้านประชิดก็จะสลับกันด้วย นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมสามเหลี่ยมรูปเดียวกันจึงให้ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ต่างกันสำหรับมุมแหลมสองมุมของมัน

อีกข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์คือ สำหรับมุมที่กำหนด อัตราส่วนเหล่านี้จะคงเดิมแม้ว่าจะขยายหรือย่อขนาดของสามเหลี่ยมก็ตาม สามเหลี่ยมคล้ายจะคงอัตราส่วนของมุมเดิมไว้เสมอ

ตัวอย่างคำนวณด้วยสามเหลี่ยม 3-4-5

สมมติว่าสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีความยาวด้านเป็น $3$, $4$ และ $5$ ให้ $\theta$ เป็นมุมแหลมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านยาว $3$

ดังนั้น

• opposite $= 3$
• adjacent $= 4$
• hypotenuse $= 5$

จึงได้ว่า

$$\sin \theta = \frac{3}{5}, \quad \cos \theta = \frac{4}{5}, \quad \tan \theta = \frac{3}{4}$$

ตัวอย่างนี้แสดงรูปแบบได้ชัดเจน ไซน์และโคไซน์ต่างก็ใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก ส่วนแทนเจนต์ไม่ใช้ เพราะมันเปรียบเทียบสองด้านประกอบมุมฉาก จึงมักมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการมองความชัน

ควรใช้ Sine Cosine หรือ Tangent เมื่อไร

ใช้อัตราส่วนเหล่านี้เมื่อโจทย์เชื่อมโยงระหว่างมุมกับความยาวด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก

• ใช้ $\sin \theta$ เมื่อด้านที่สนใจคือด้านตรงข้ามและด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ใช้ $\cos \theta$ เมื่อด้านที่สนใจคือด้านประชิดและด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ใช้ $\tan \theta$ เมื่อด้านที่สนใจคือด้านตรงข้ามและด้านประชิด

ถ้าคุณรู้ความยาวด้านหนึ่งด้านและมุมแหลมหนึ่งมุม ตรีโกณมิติมักช่วยให้หาด้านอื่นได้ และถ้าคุณรู้อัตราส่วนของด้าน ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันก็ช่วยหามุมกลับมาได้

วงกลมหนึ่งหน่วยขยายแนวคิดเดิมอย่างไร

นิยามในสามเหลี่ยมมุมฉากข้างต้นใช้ได้โดยตรงกับมุมแหลมในสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับมุมที่มากกว่า $90^\circ$ มุมลบ หรือการหมุนครบรอบ ตรีโกณมิติจะขยายฟังก์ชันเดิมนี้ผ่านวงกลมหนึ่งหน่วย

บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่แทนมุม $\theta$ คือ

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

และแทนเจนต์ยังคงเป็นอัตราส่วน

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

เมื่อ $\cos \theta \ne 0$

ดังนั้นบนวงกลมหนึ่งหน่วย โคไซน์คือพิกัด $x$ และไซน์คือพิกัด $y$ นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมชื่อฟังก์ชันตรีโกณมิติเดิมยังใช้ได้ แม้จะไม่มีการวาดสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ก็ตาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับ Sin Cos และ Tan

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือสับสนระหว่างด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ชื่อเรียกเหล่านี้จะมีความหมายก็ต่อเมื่อคุณเลือกมุมก่อนแล้วเท่านั้น

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือคิดว่า SOHCAHTOA ใช้ได้กับทุกโจทย์ตรีโกณมิติ ทั้งที่จริงมันครอบคลุมเฉพาะนิยามในสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าโจทย์ใช้มุมทั่วไป วงกลมหนึ่งหน่วยมักเป็นแบบจำลองที่เหมาะกว่า

นักเรียนบางคนยังลืมว่าแทนเจนต์เป็นอัตราส่วน ไม่ใช่ความยาวของด้าน ในสามเหลี่ยม มันเปรียบเทียบการสูงขึ้นต่อการวิ่งไปข้างหน้า

อีกข้อผิดพลาดคือคิดว่าแทนเจนต์มีค่าได้เสมอ ในมุมมองของวงกลมหนึ่งหน่วย $\tan \theta$ จะไม่กำหนดเมื่อ $\cos \theta = 0$

Sine Cosine และ Tangent พบได้ที่ไหนบ้าง

แนวคิดเหล่านี้พบได้บ่อยเป็นพิเศษในเรื่องต่อไปนี้

• โจทย์สามเหลี่ยมมุมฉาก
• ความชันและทิศทาง
• การเคลื่อนที่แบบวงกลมและคลื่น
• เรขาคณิตพิกัดและวงกลมหนึ่งหน่วย

ถ้าโจทย์เกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เริ่มจากมุมมองแบบอัตราส่วนของด้าน ถ้าเกี่ยวกับมุมรอบวงกลม ให้เริ่มจากมุมมองของวงกลมหนึ่งหน่วย

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้สามเหลี่ยม $3$-$4$-$5$ รูปเดิม แล้วเปลี่ยนไปใช้มุมแหลมอีกมุมหนึ่ง กำหนดด้านตรงข้ามและด้านประชิดใหม่ จากนั้นคำนวณ $\sin \theta$, $\cos \theta$ และ $\tan \theta$ อีกครั้ง การตรวจสอบสั้น ๆ นี้จะแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุมที่คุณเลือก