단위원은 sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta, tan⁡θ\tan \theta가 무엇을 뜻하는지 가장 빠르게 보여 주는 방법입니다. 단위원은 원점 중심, 반지름이 11인 원이며, 각도 θ\theta에 대응하는 점은

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

입니다.

즉, 코사인은 가로좌표이고 사인은 세로좌표입니다. 탄젠트는 cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0일 때 이 둘의 비로 정의됩니다:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

단위원에서는 라디안의 의미가 특별합니다. 반지름이 11이므로 00에서 θ\theta까지의 호의 길이가 정확히 θ\theta 라디안이 됩니다.

단위원 탐색하기

각도를 움직이면서 점, 좌표, 삼각함수 값이 함께 어떻게 변하는지 살펴보세요. 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ, 330∘330^\circ부터 시작하면 하나의 기준각이 네 가지 다른 부호 패턴을 만드는 모습을 볼 수 있습니다.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

좌표에서 사인과 코사인 읽기

원 위의 모든 점은 (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)의 형태를 가집니다. 즉, 사인과 코사인에 대해 따로 규칙을 외울 필요 없이 점의 가로좌표와 세로좌표를 그대로 읽으면 됩니다.

이것은 부호를 빠르게 확인하는 데도 도움이 됩니다. 왼쪽 반원에 있는 점은 코사인이 음수이고, xx축 아래에 있는 점은 사인이 음수입니다.

  • 제1사분면: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 and cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • 제2사분면: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 and cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • 제3사분면: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 and cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • 제4사분면: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 and cos⁡θ>0\cos \theta > 0

cos⁡θ=0\cos \theta = 0이면 탄젠트는 정의되지 않습니다. 단위원에서는 이것이 맨 위와 맨 아래 점, 즉 90∘90^\circ와 270∘270^\circ에서 일어납니다.

예제: 단위원에서의 150∘150^\circ

150∘150^\circ는 제2사분면에 있으므로 코사인은 음수, 사인은 양수여야 합니다. 기준각은 30∘30^\circ이므로 좌표의 절댓값은 30∘30^\circ일 때와 같습니다.

30∘30^\circ에서의 점은

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

입니다.

제2사분면에서는 xx좌표의 부호만 바뀌므로, 150∘150^\circ에서는

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

입니다.

따라서

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

가 됩니다.

탐색기를 사용해 30∘30^\circ와 150∘150^\circ를 오가며 확인해 보세요. 좌표의 절댓값은 그대로지만, 사분면에 따라 xx좌표의 부호가 바뀝니다.

탐색기에서 주목할 점

따로 떨어진 사실을 외우기보다, 위젯으로 몇 가지 패턴을 직접 확인해 보세요:

  1. 기준각이 같은 각들은 같은 좌표의 절댓값을 다시 사용합니다.
  2. 360∘360^\circ를 더하면 같은 점에 도달하므로, 사인과 코사인은 한 바퀴마다 반복됩니다.
  3. 좌표축 위의 각은 한 좌표가 00이 되는 경계 경우입니다.

비슷한 방식으로 확인해 보기

각 사분면에서 하나씩 각을 골라, 위젯으로 확인하기 전에 sin⁡θ\sin \theta와 cos⁡θ\cos \theta의 부호를 먼저 예측해 보세요. 그런 다음 30∘30^\circ나 45∘45^\circ 같은 기준각을 선택하고, 같은 좌표의 절댓값이 원 둘레에서 어떻게 다시 나타나는지 살펴보세요.

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