O círculo trigonométrico é a forma mais rápida de entender o que significam sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta e tan⁡θ\tan \theta. Ele é o círculo centrado na origem com raio 11, e o ponto alcançado por um ângulo θ\theta é

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

Assim, o cosseno é a coordenada horizontal e o seno é a coordenada vertical. A tangente vem da razão entre eles quando cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

No círculo trigonométrico, a medida em radianos tem um significado especial: como o raio é 11, o comprimento do arco de 00 até θ\theta é exatamente θ\theta radianos.

Explore O Círculo Trigonométrico

Mova o ângulo e observe o ponto, as coordenadas e os valores trigonométricos mudando juntos. Comece com 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ e 330∘330^\circ para ver como um mesmo ângulo de referência pode produzir quatro padrões de sinais diferentes.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Leia Seno E Cosseno Pelas Coordenadas

Todo ponto no círculo tem a forma (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). Isso significa que você não precisa de uma regra separada para seno e cosseno: basta ler as coordenadas horizontal e vertical do ponto.

Isso também permite verificar os sinais rapidamente. Pontos no semicírculo esquerdo têm cosseno negativo, e pontos abaixo do eixo xx têm seno negativo.

  • Quadrante I: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 e cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • Quadrante II: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 e cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Quadrante III: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 e cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Quadrante IV: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 e cos⁡θ>0\cos \theta > 0

A tangente é indefinida quando cos⁡θ=0\cos \theta = 0. No círculo trigonométrico, isso acontece nos pontos de cima e de baixo: 90∘90^\circ e 270∘270^\circ.

Exemplo Resolvido: 150∘150^\circ No Círculo Trigonométrico

150∘150^\circ está no Quadrante II, então o cosseno deve ser negativo e o seno deve ser positivo. Seu ângulo de referência é 30∘30^\circ, o que significa que os módulos das coordenadas coincidem com os do ponto de 30∘30^\circ.

Em 30∘30^\circ, o ponto é

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

No Quadrante II, apenas o sinal da coordenada xx muda, então em 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Então,

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Use o explorador para alternar entre 30∘30^\circ e 150∘150^\circ. Os módulos das coordenadas permanecem os mesmos, mas o quadrante muda o sinal da coordenada xx.

O Que Observar No Explorador

Use o widget para testar alguns padrões em vez de decorar fatos isolados:

  1. Ângulos com o mesmo ângulo de referência reutilizam os mesmos módulos das coordenadas.
  2. Somar 360∘360^\circ leva ao mesmo ponto, então seno e cosseno se repetem a cada volta completa.
  3. Os eixos são casos de fronteira em que uma das coordenadas se torna 00.

Tente Uma Verificação Parecida

Escolha um ângulo em cada quadrante e preveja os sinais de sin⁡θ\sin \theta e cos⁡θ\cos \theta antes de conferir no widget. Depois, escolha um ângulo de referência como 30∘30^\circ ou 45∘45^\circ e veja como os mesmos módulos das coordenadas reaparecem ao redor do círculo.

Precisa de ajuda com um problema?

Envie sua pergunta e receba uma solução verificada, passo a passo, em segundos.

Abrir GPAI Solver →