单位圆是理解 sin⁡θ\sin \theta、cos⁡θ\cos \theta 和 tan⁡θ\tan \theta 含义的最快方法。它是一个以原点为圆心、半径为 11 的圆，而角 θ\theta 对应到圆上的点为

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

所以，余弦是横坐标，正弦是纵坐标。当 cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0 时，正切由它们的比值得到：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

在单位圆上，弧度制有一个特殊含义：因为半径是 11，所以从 00 到 θ\theta 的弧长恰好就是 θ\theta 弧度。

探索单位圆

拖动角度，观察点、坐标和三角函数值如何一起变化。可以先从 30∘30^\circ、150∘150^\circ、210∘210^\circ 和 330∘330^\circ 开始，看看同一个参考角如何对应四种不同的符号组合。

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

从坐标读取正弦和余弦

圆上的每个点都可以写成 (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)。这意味着你不需要分别记忆正弦和余弦的规则：直接读取该点的横坐标和纵坐标即可。

这也能帮助你快速判断符号。左半圆上的点余弦为负，位于 xx 轴下方的点正弦为负。

  • 第一象限：sin⁡θ>0\sin \theta > 0 且 cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • 第二象限：sin⁡θ>0\sin \theta > 0 且 cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • 第三象限：sin⁡θ<0\sin \theta < 0 且 cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • 第四象限：sin⁡θ<0\sin \theta < 0 且 cos⁡θ>0\cos \theta > 0

当 cos⁡θ=0\cos \theta = 0 时，正切没有定义。在单位圆上，这发生在最上方和最下方的点，也就是 90∘90^\circ 和 270∘270^\circ。

例题：单位圆上的 150∘150^\circ

150∘150^\circ 位于第二象限，所以余弦应为负，正弦应为正。它的参考角是 30∘30^\circ，这意味着坐标的绝对值与 30∘30^\circ 对应点相同。

在 30∘30^\circ 时，对应点为

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

第二象限只改变 xx 坐标的符号，所以在 150∘150^\circ 时：

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

于是

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

用这个探索器在 30∘30^\circ 和 150∘150^\circ 之间切换。你会发现坐标的绝对值保持不变，但象限会改变 xx 坐标的符号。

在探索器中重点观察什么

与其死记零散结论，不如用这个组件验证几个规律：

  1. 参考角相同的角，会重复使用相同的坐标绝对值。
  2. 加上 360∘360^\circ 会回到同一个点，所以正弦和余弦每转一整圈就会重复。
  3. 坐标轴是边界情况，此时其中一个坐标会变成 00。

试着做一个类似检查

在每个象限各选一个角，先预测 sin⁡θ\sin \theta 和 cos⁡θ\cos \theta 的符号，再用组件验证。然后选一个参考角，比如 30∘30^\circ 或 45∘45^\circ，观察相同的坐标绝对值如何在圆周上重复出现。

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