Okrąg jednostkowy to najszybszy sposób, aby zobaczyć, co oznaczają sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta i tan⁡θ\tan \theta. Jest to okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 11, a punkt wyznaczony przez kąt θ\theta ma postać

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

To znaczy, że cosinus jest współrzędną poziomą, a sinus współrzędną pionową. Tangens wynika z ich ilorazu, gdy cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Na okręgu jednostkowym miara w radianach ma szczególne znaczenie: ponieważ promień wynosi 11, długość łuku od 00 do θ\theta jest dokładnie równa θ\theta radianów.

Odkrywaj okrąg jednostkowy

Przesuwaj kąt i obserwuj, jak punkt, współrzędne i wartości funkcji trygonometrycznych zmieniają się razem. Zacznij od 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ i 330∘330^\circ, aby zobaczyć, jak jeden kąt odniesienia może dawać cztery różne układy znaków.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Odczytywanie sinusa i cosinusa ze współrzędnych

Każdy punkt na okręgu ma postać (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). To oznacza, że nie potrzebujesz osobnej reguły dla sinusa i cosinusa: wystarczy odczytać poziomą i pionową współrzędną punktu.

To daje też szybki sposób sprawdzania znaków. Punkty po lewej stronie mają ujemny cosinus, a punkty poniżej osi xx mają ujemny sinus.

  • I ćwiartka: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 i cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • II ćwiartka: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 i cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • III ćwiartka: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 i cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • IV ćwiartka: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 i cos⁡θ>0\cos \theta > 0

Tangens jest nieokreślony, gdy cos⁡θ=0\cos \theta = 0. Na okręgu jednostkowym dzieje się tak w górnym i dolnym punkcie: przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ.

Przykład: 150∘150^\circ na okręgu jednostkowym

150∘150^\circ leży w II ćwiartce, więc cosinus powinien być ujemny, a sinus dodatni. Jego kąt odniesienia to 30∘30^\circ, co oznacza, że wartości bezwzględne współrzędnych są takie same jak dla punktu przy 30∘30^\circ.

Przy 30∘30^\circ punkt ma postać

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

W II ćwiartce zmienia się tylko znak współrzędnej xx, więc dla 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Wtedy

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Użyj eksploratora, aby przechodzić między 30∘30^\circ a 150∘150^\circ. Wartości bezwzględne współrzędnych pozostają takie same, ale ćwiartka zmienia znak współrzędnej xx.

Na co zwrócić uwagę w eksploratorze

Użyj widżetu, aby sprawdzić kilka zależności zamiast zapamiętywać pojedyncze fakty:

  1. Kąty o tym samym kącie odniesienia mają te same wartości bezwzględne współrzędnych.
  2. Dodanie 360∘360^\circ prowadzi do tego samego punktu, więc sinus i cosinus powtarzają się po pełnym obrocie.
  3. Osie to przypadki graniczne, w których jedna ze współrzędnych staje się równa 00.

Spróbuj podobnego sprawdzenia

Wybierz po jednym kącie w każdej ćwiartce i przewidź znaki sin⁡θ\sin \theta oraz cos⁡θ\cos \theta, zanim sprawdzisz to w widżecie. Następnie wybierz kąt odniesienia, na przykład 30∘30^\circ lub 45∘45^\circ, i zobacz, jak te same wartości bezwzględne współrzędnych pojawiają się ponownie wokół okręgu.

Potrzebujesz pomocy z zadaniem?

Prześlij pytanie i otrzymaj zweryfikowane rozwiązanie krok po kroku w kilka sekund.

Otwórz GPAI Solver →