La circonferenza goniometrica è il modo più rapido per capire che cosa significano sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta e tan⁡θ\tan \theta. È la circonferenza con centro nell’origine e raggio 11, e il punto individuato da un angolo θ\theta è

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

Quindi il coseno è la coordinata orizzontale e il seno è la coordinata verticale. La tangente deriva dal loro rapporto quando cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Sulla circonferenza goniometrica, la misura in radianti ha un significato speciale: poiché il raggio è 11, la lunghezza dell’arco da 00 a θ\theta è esattamente θ\theta radianti.

Esplora la circonferenza goniometrica

Sposta l’angolo e osserva come cambiano insieme il punto, le coordinate e i valori trigonometrici. Inizia con 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ e 330∘330^\circ per vedere come uno stesso angolo di riferimento possa produrre quattro diversi schemi di segno.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Leggi seno e coseno dalle coordinate

Ogni punto sulla circonferenza ha la forma (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). Questo significa che non ti serve una regola separata per seno e coseno: basta leggere le coordinate orizzontale e verticale del punto.

Questo permette anche di controllare rapidamente i segni. I punti nella metà sinistra hanno coseno negativo, e i punti sotto l’asse xx hanno seno negativo.

  • Primo quadrante: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 e cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • Secondo quadrante: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 e cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Terzo quadrante: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 e cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Quarto quadrante: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 e cos⁡θ>0\cos \theta > 0

La tangente non è definita quando cos⁡θ=0\cos \theta = 0. Sulla circonferenza goniometrica, questo accade nei punti superiore e inferiore: 90∘90^\circ e 270∘270^\circ.

Esempio svolto: 150∘150^\circ sulla circonferenza goniometrica

150∘150^\circ si trova nel secondo quadrante, quindi il coseno deve essere negativo e il seno positivo. Il suo angolo di riferimento è 30∘30^\circ, quindi i moduli delle coordinate coincidono con quelli del punto a 30∘30^\circ.

A 30∘30^\circ, il punto è

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Nel secondo quadrante cambia solo il segno della coordinata xx, quindi a 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Quindi

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Usa l’esploratore per passare da 30∘30^\circ a 150∘150^\circ. I moduli delle coordinate restano gli stessi, ma il quadrante cambia il segno della coordinata xx.

Cosa osservare nell’esploratore

Usa il widget per verificare alcuni schemi invece di memorizzare fatti isolati:

  1. Gli angoli con lo stesso angolo di riferimento riutilizzano gli stessi moduli delle coordinate.
  2. Aggiungere 360∘360^\circ porta allo stesso punto, quindi seno e coseno si ripetono a ogni giro completo.
  3. Gli assi sono casi limite in cui una delle coordinate diventa 00.

Prova un controllo simile

Scegli un angolo in ciascun quadrante e prevedi i segni di sin⁡θ\sin \theta e cos⁡θ\cos \theta prima di controllare nel widget. Poi scegli un angolo di riferimento come 30∘30^\circ o 45∘45^\circ e osserva come gli stessi moduli delle coordinate ricompaiano lungo la circonferenza.

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