ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน — สูตรและกราฟ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันให้ค่ามุมจากค่าตรีโกณมิติ ในทางปฏิบัติ $\arcsin x$, $\arccos x$ และ $\arctan x$ จะคืนค่ามุมมาตรฐานเพียงหนึ่งค่า ซึ่งเรียกว่า principal value ไม่ใช่ทุกมุมที่เป็นไปได้

ข้อจำกัดนี้สำคัญมาก เพราะไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ให้ค่าซ้ำบนกราฟเต็มของมัน ดังนั้นจะมีฟังก์ชันผกผันได้ก็ต่อเมื่อเราจำกัดให้อยู่ในช่วงที่แต่ละผลลัพธ์มาจากมุมเพียงค่าเดียว

ความหมายของ $\arcsin x$, $\arccos x$ และ $\arctan x$

นิยามต่อไปนี้แสดงทั้งความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติและช่วงของผลลัพธ์ที่อนุญาต:

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

เงื่อนไขของช่วงเหล่านี้ไม่ใช่รายละเอียดเล็กน้อย แต่เป็นสิ่งที่ทำให้ฟังก์ชันผกผันมีค่าออกมาได้เพียงค่าเดียว

โดเมนและเรนจ์ที่ควรรู้จริง ๆ

สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน 3 ตัวที่นักเรียนใช้บ่อยที่สุด:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

ให้อ่านแต่ละบรรทัดโดยดูอินพุตก่อน แล้วค่อยดูเอาต์พุต ตัวอย่างเช่น $\arcsin x$ รับได้เฉพาะ $-1 \le x \le 1$ เพราะไซน์ไม่มีทางให้ค่าออกมานอกช่วงนั้น

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันทำงานอย่างไร

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเป็นภาพสะท้อนกับเส้น $y = x$ แต่จะทำได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันตรีโกณมิติเดิมถูกจำกัดให้อยู่ในช่วงที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งก่อน

ตัวอย่างเช่น $y = \arcsin x$ เป็นภาพสะท้อนของกราฟไซน์ที่ถูกจำกัดช่วง

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

กับเส้น $y = x$

แนวคิดเดียวกันนี้ให้คู่ที่สอดคล้องกันดังนี้:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

อย่าสะท้อนกราฟไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์แบบเต็มที่มีการซ้ำค่า เพราะกราฟเต็มไม่ผ่านการทดสอบเส้นแนวนอน จึงไม่สามารถมีฟังก์ชันผกผันได้

ตัวอย่างคำนวณหนึ่งข้อโดยใช้เรนจ์หลัก

จงหาค่า

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

เราต้องการมุม $y$ ที่ทำให้ $\cos y = -\frac{1}{2}$ มีหลายมุมที่เป็นไปได้ แต่ $\arccos x$ ต้องคืนค่ามุมที่อยู่ในเรนจ์หลัก

$$0 \le y \le \pi$$

ภายในช่วงนี้ มุมที่ถูกต้องคือ $y = \frac{2\pi}{3}$ ดังนั้น

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

นี่คือแนวคิดสำคัญที่ควรฝึกให้ชิน: อย่าถามหามุมใดก็ได้ที่ใช้ได้ แต่ให้ถามหามุมที่อยู่ในช่วงที่ถูกต้อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือสับสนระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันกับฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบส่วนกลับ $\arcsin x$ ไม่เหมือนกับ $\csc x$ และ $\sin^{-1} x$ โดยทั่วไปหมายถึงไซน์ผกผัน ไม่ใช่ $1/\sin x$

อีกข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือมองข้ามเรนจ์หลัก เช่น $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ แต่

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

เพราะ $\frac{\pi}{6}$ คือมุมที่อยู่ในช่วงที่อนุญาตสำหรับ $\arcsin x$

บางครั้งนักเรียนยังลืมตรวจโดเมนด้วย นิพจน์อย่าง $\arcsin 2$ และ $\arccos(-3)$ ไม่มีค่าเป็นจำนวนจริง เพราะไซน์และโคไซน์ไม่ให้ผลลัพธ์นอกช่วง $[-1,1]$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันใช้เมื่อไร

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันปรากฏเมื่อเรารู้อัตราส่วนแล้วต้องการหามุมกลับคืนมา ซึ่งเกิดขึ้นในเรขาคณิตของสามเหลี่ยมมุมฉาก การนำทาง ปัญหาเรื่องความชันและทิศทาง องค์ประกอบของเวกเตอร์ และการสร้างแบบจำลองที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยม

ฟังก์ชันเหล่านี้ยังสำคัญในแคลคูลัสด้วย คุณจะพบในอนุพันธ์ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต เช่น $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ และการแทนค่าที่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ตรีโกณมิติ

วิธีคิดแบบ 2 ขั้นตอน

เมื่อคุณคำนวณนิพจน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ให้ตรวจ 2 อย่างนี้:

1. ค่าที่โจทย์ให้มาตรงกับฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวไหน?
2. มุมที่อยู่ในเรนจ์หลักของฟังก์ชันนั้นคือมุมใด?

ถ้าคุณยึดสองข้อนี้ไว้พร้อมกัน สูตรและกราฟจะอ่านเข้าใจได้ง่ายขึ้นมาก

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองหาค่า $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ และ $\arctan(1)$ ถ้าคุณเลือกเรนจ์หลักก่อน คำตอบทั้งสองข้อจะออกมาได้อย่างรวดเร็ว